仮説検定の考え方(コイン投げ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「表が $20$ 回も出た。このコインは怪しい」— これを数学の言葉で裏づけるのが仮説検定だ。

論法は少し変わっている。主張したいことの反対を、いったん仮定する。

• 立てる仮説: 「このコインは公正だ(表と裏は同じ確率)」

そして問う。「もし公正なら、$30$ 回中 $20$ 回も表が出ることは、どれくらい珍しいのか?」

実験結果を見ると、公正なコインで $20$ 回以上出たのは $200$ セット中たった $4$ セット。割合は $\frac{4}{200}=0.02$、つまり $2\%$。

$0.05$($5\%$)より小さい。「公正なら、めったに起きないはずのことが起きた」 — ならば最初の仮定を疑うべきだ。仮説を棄却して、「表が出やすい」と判断する。背理法に似た構図である。

まず仮説を立てる。 判断したい主張は『このコインは表が出やすい』だ。そこで、これに反する仮説

$$\text{「このコインは公正である(表の出る確率は }\frac{1}{2}\text{)」}$$

を立て、この仮説が正しいとしたら今回の結果(表が $20$ 回以上)がどれくらい起こりにくいかを調べる。自分の主張を直接証明するのではなく、相手(反対の仮説)を追いつめるのが、この論法の構えだ。

実験結果から相対度数を求める。 公正なコインを $30$ 回投げる実験 $200$ セットのうち、表が $20$ 回以上出たのは $4$ セットだけだった。その相対度数は

$$\frac{4}{200}=0.02$$

つまり、公正なコインでも表が $20$ 回以上出ることはある。ただし $100$ 回に $2$ 回くらいしか起こらない、ということだ。

基準と比べて判断する。

$$0.02<0.05$$

今回のような結果は、基準の $5\%$ を下回る『めったに起こらない』出来事だ。それが現実に起きた。ならば『公正である』という仮定のほうを疑うのが筋であり、この仮説を棄却する。

結論。 このコインは表が出やすいと判断してよい。

(もし相対度数が $0.05$ 以上だったら?そのときは『公正なコインでも普通に起こりうる結果』なので仮説は棄却できない。ただしそれは『公正だと証明された』ことにはならず、『表が出やすいとは言い切れない』という保留の結論になる。この非対称が仮説検定の肝だ。)

発展 — 一歩先へ。 ここで立てた「公正なコインだ」という仮説を帰無仮説、否定したい相手を倒したときに残る「表が出やすい」を対立仮説という。基準の $5\%$ は有意水準と呼ばれる。

数Bの「統計的な推測」では、この判定を実験ではなく正規分布で行う。$30$ 回中の表の回数は二項分布に従い、回数が多ければ正規分布で近似できるからだ。平均 $np=15$、標準偏差 $\sqrt{npq}=\sqrt{30\times 0.5\times 0.5}\approx 2.74$ として

$$z=\frac{20-15}{2.74}\approx 1.83$$

片側 $5\%$ の基準値 $1.64$ を超えている → 棄却。実験も、二項分布の直接計算も、正規近似も、同じ結論に着く。道具が違うだけで、考え方は $1$ つだ。

判定を誤る可能性も $2$ 種類ある。本当は公正なのに「怪しい」と言ってしまう誤り(その確率がまさに有意水準 $5\%$)と、本当は偏っているのに見逃す誤り。基準を厳しくすれば前者は減るが、後者は増える — 両方をゼロにはできない。

新薬が効くかどうかの判定も、工場の不良品検査も、この論理でできている。「絶対に確か」ではなく「これだけ珍しいなら偶然とは考えにくい」で前に進む — 不確実な世界で意思決定するための、人類の発明である。

別解

実験の $200$ セットは、本当は計算で求められる確率の近似である。理論値を出して、実験結果と突き合わせてみよう。

公正なコインを $30$ 回投げて表が $k$ 回出る確率は、$30$ 回のうちどの $k$ 回が表かを選ぶ場合の数を使って

$$\frac{{}_{30}{\mathrm{C}}_k}{2^{30}}$$

と書ける($2^{30}$ 通りの表裏の並びは、どれも同じ確率で起こるから)。求めたいのは「$20$ 回以上」だから、$k=20$ から $30$ まで足す。

$$P(\text{表が }20\text{ 回以上})=\frac{{}_{30}{\mathrm{C}}_{20}+{}_{30}{\mathrm{C}}_{21}+\cdots +{}_{30}{\mathrm{C}}_{30}}{2^{30}}\approx 0.049$$

理論値は約 $4.9\%$。 実験で得た $2\%$ は、この $4.9\%$ を $200$ 回の試行で推定した値だったわけだ($200$ セットしかないので、ぶれるのは当然である)。

どちらも $5\%$ を下回る。 だから結論は変わらない — 仮説は棄却され、「表が出やすい」と判断してよい。

ここで背筋が寒くなる事実に気づく。理論値 $4.9\%$ は、基準 $5\%$ をぎりぎり下回っているだけだ。

もし表が $19$ 回だったら? 同じ計算をすると

$$P(\text{表が }19\text{ 回以上})\approx 0.100$$

$10\%$ — 基準の $2$ 倍で、棄却できない。表が $1$ 回違うだけで、結論がひっくり返るのである。

この事実から、$3$ つの大事な教訓が出る。

• $5\%$ という基準に、数学的な必然性はない。 「まあこのくらい珍しければ」という約束事にすぎない。$1\%$ を基準にすれば、今回は棄却できなかった($4.9\%>1\%$)
• 「棄却できない」は「仮説が正しい」ではない。 証拠が足りないだけで、無罪放免ではない。仮説検定は「白」を証明できず、「黒だと言えるほど珍しいか」だけを判定する
• 回数を増やせば、判定は鋭くなる。 $300$ 回投げて $200$ 回表なら(同じ割合でも)確率はずっと小さくなり、はるかに強い証拠になる。データの量が、結論の強さを決める

仮説検定は「疑わしきは罰せず」の論理だ。刑事裁判で「無罪と仮定して、有罪の証拠がどれほどありえないか」を問うのと、まったく同じ構えをしている。