数学I / データの分析

2つのグループを合わせた平均値と分散

★★ 標準平均値分散グループの統合

問題

A班 $10$ 人のテストの得点は平均値 $60$ 点、分散 $20$ であり、B班 $10$ 人の得点は平均値 $70$ 点、分散 $30$ であった。A班とB班を合わせた $20$ 人全体の平均値と分散を求めよ。

ヒントを見る

平均や分散は『足せない』量。でも総和と2乗の総和なら足せる。各班の2乗の総和を、分散の公式を逆に使って復元 → 合算 → 全体の分散へ。分散を単純平均しないのがカギ。

解答・解説

方針

平均 $60$ 点・分散 $20$ のA班と、平均 $70$ 点・分散 $30$ のB班を合わせたら?

平均は総和経由で素直に出る(人数が同じなので2つの平均のちょうど中間になる)。危ないのは分散だ。 $(20 + 30) \div 2 = 25$ と平均したくなるが、これは誤り。分散は平均からの距離で決まる量で、合併すると『全体の平均』という新しい基準点からの距離で測り直しになるからだ。

確実な手順は、公式の変形 $\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ で各班の『2乗の総和』を復元し、全体で合算してから全体の分散を計算すること。総和と2乗総和は、平均や分散とちがって単純に足せる量だ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均 $60$ 点のA班と平均 $70$ 点のB班を合わせる。平均は総和経由で素直に出る(人数が同じなら、ちょうど中間の $65$ 点)。

危ないのは分散だ。 $(20 + 30) \div 2 = 25$ と平均したくなるが、これは誤り。

分散は「平均からの距離」で決まる量だ。合併すると、基準点が各班の平均から「全体の平均 $65$ 」に変わり、全員の距離が測り直しになる。2乗の総和を経由して計算し直すのが本筋である。

公式

\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}

(平均・分散から2乗の総和を復元して合算する)

まず全体の平均値。 A班の総和は $60 \times 10 = 600$ 点、B班の総和は $70 \times 10 = 700$ 点なので、全体の平均値は

$\overset{x}{ˉ} = \frac{600 + 700}{20} = \frac{1300}{20} = 65 (点)$

次に各班の『2乗の総和』を復元する。 分散の公式 $s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ を変形すると $\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ 。平均と分散から『2乗の平均』が逆算できる。

A班: $\overline{x^{2}} = 20 + 6 0^{2} = 3620$ 、よって2乗の総和は $3620 \times 10 = 36200$
B班: $\overline{x^{2}} = 30 + 7 0^{2} = 4930$ 、よって2乗の総和は $4930 \times 10 = 49300$

全体の分散。 2乗の総和は足してよい量なので、全体の2乗の平均は

$\overline{x^{2}} = \frac{36200 + 49300}{20} = \frac{85500}{20} = 4275$

よって全体の分散は

$s^{2} = 4275 - 6 5^{2} = 4275 - 4225 = 50$

結論。 平均値 $65$ 点、分散 $50$ 。

まとめ:注目してほしいのは、分散 $50$ が各班の分散( $20$ 、 $30$ )のどちらよりも大きいことだ。合併後の散らばりには、各班の中での散らばりに加えて『班どうしの平均のずれ( $60$ と $70$ )』が新たな散らばりとして上乗せされる。A班の平均的な生徒も、全体平均 $65$ から見れば $5$ 点ずれているのだ。『分散の平均 $= 25$ 』という誤答が、この上乗せ分を見落としていることも、これで納得できるだろう。

発展 — 一歩先へ。 「全体の散らばり=群の中+群の間」という分解は、統計学で分散分析と呼ばれる手法の心臓部だ。クラス間の学力差を語るとき、個人差(群内)と学級差(群間)を分けて見る、という発想である。

2つの平均が同じ班を合べたら( $60$ 点と $60$ 点)、部品②は $0$ になり、分散はちょうど分散の平均になる。誤答の $25$ が正解になる特別な場合まで言えると、理解は完全だ。

答

平均値 $65$ 点、分散 $50$

別解

合併後の分散は、意味のある2つの部品に分解できる。この見方を知ると、 $25$ では足りない理由まで説明できる。

部品①は「各班の中の散らばり」。2つの班の分散の平均で、 $\frac{20 + 30}{2} = 25$ 。

部品②は「班どうしのずれ」。各班の平均が全体平均 $65$ からどれだけ離れているかで、 $\frac{( 60 - 65 ) ^{2} + ( 70 - 65 ) ^{2}}{2} = \frac{25 + 25}{2} = 25$ 。

合併後の分散は、この2つの和で

$25 + 25 = 50$

$(20 + 30) \div 2 = 25$ という誤答は、部品②(班間のずれ)を丸ごと忘れた値だったのだ。「全体の散らばり=班の中の散らばり+班の間の散らばり」という分解は、人数が違う場合には重みつきの平均になるが、構造は同じである。

ポイント

グループ統合の分散は「分散の平均」ではない — 2乗和に戻して計算する
$\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ で各グループの2乗和を復元するのが定石
平均が異なるグループを合わせると、全体の分散は各グループの分散より大きくなりうる

よくある間違い

全体の分散を $(20 + 30) \div 2 = 25$ としてしまう(班間のずれの分が抜ける)
$2$ 乗の総和と $2$ 乗の平均を混同して、人数倍を忘れる
$\overline{x^{2}} = (\overset{x}{ˉ})^{2} + s^{2}$ の変形を使わず、 $2$ 乗の総和を復元できない