数学I / データの分析

データの合計値から相関係数を求める

★★ 標準相関係数共分散分散の公式

問題

20組の2変量データ $(x, y)$ について、次の合計値が分かっている。

$\sum x = 100, \sum y = 160, \sum x^{2} = 580, \sum y^{2} = 1360, \sum x y = 856$

(ここで $\sum$ は20組すべてについての合計を表す。)

$x, y$ の平均値、分散、共分散を求め、相関係数 $r$ を求めよ。

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個々のデータはなく、合計値だけ。それでも全部出せる。分散は『2乗の平均 − 平均の2乗』。共分散にも双子の公式『積の平均 − 平均の積』がある。まず合計値を個数で割って、各平均を作るところから。

解答・解説

方針

個々のデータは1つも与えられず、あるのは合計値( $\sum x$ 、 $\sum y$ 、 $\sum x^{2}$ 、 $\sum y^{2}$ 、 $\sum x y$ )だけ。それでも相関係数は完全に計算できる。

分散は $s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ 、そして共分散にはその双子の公式 $s_{x y} = \overline{x y} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ (積の平均 − 平均の積)がある。分散の公式で $y$ を $x$ に置き換えたものが分散、と見れば、2つの公式が同じ変形から生まれた兄弟だとわかる。

実際の統計処理でも、データを1件ずつ見ながら5つの合計を貯めておけば済む。実用上も大事な計算法だ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 個々のデータは1つもない。あるのは5つの合計値だけ。それでも相関係数は完全に計算できる。

分散の公式 $s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ には、双子の公式がある。共分散の $s_{x y} = \overline{x y} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ だ。

どちらも「合計値を $n$ で割った平均たち」だけでできている。5つの合計値を $20$ で割って部品(平均・2乗の平均・積の平均)をそろえ、公式に流し込めばよい。

公式

s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}

、共分散

s_{x y} = \overline{x y} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}

(積の平均

-

平均の積)

まず平均値。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{100}{20} = 5, \overset{y}{ˉ} = \frac{160}{20} = 8$

分散。 『2乗の平均 − 平均の2乗』で

$s_{x}^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2} = \frac{580}{20} - 5^{2} = 29 - 25 = 4$

$s_{y}^{2} = \overline{y^{2}} - (\overset{y}{ˉ})^{2} = \frac{1360}{20} - 8^{2} = 68 - 64 = 4$

よって $s_{x} = 2$ 、 $s_{y} = 2$ だ。

共分散。 共分散(偏差の積の平均)は、分散の公式を導いたのと同じ展開で

$s_{x y} = \overline{(x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ})} = \overline{x y} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

という『積の平均 − 平均の積』の形に変形できる(展開して $\overset{x}{ˉ}$ 、 $\overset{y}{ˉ}$ が定数であることを使えば確かめられる。分散の公式は $y = x$ とした特別な場合だ)。よって

$s_{x y} = \frac{856}{20} - 5 \times 8 = 42.8 - 40 = 2.8$

相関係数。

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{2.8}{2 \times 2} = 0.7$

まとめ: $\overline{x y}$ (積の平均 $42.8$ )と $\overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ (平均の積 $40$ )は別物だ。この差 $2.8$ がまさに共分散で、2変量が連動している分だけ『積の平均』が『平均の積』からずれる、と読める。 $r = 0.7$ なので、かなり強い正の相関だ。

発展 — 一歩先へ。 合計値だけで統計量が全部出る、という事実には実務的な意味がある。 $20$ 組の生データを保存しなくても、5つの合計値さえ記録しておけば、あとから平均・分散・相関係数を再現できる。データの「要約統計量」という考え方だ。

別解の「 $r$ はコサイン」という見方からは、 $∣ r ∣ \leq 1$ が当たり前の事実として見える。数学IIで学ぶコーシー・シュワルツの不等式は、この事実の代数版である。

答

$\overset{x}{ˉ} = 5$ 、 $\overset{y}{ˉ} = 8$ 、 $s_{x}^{2} = 4$ 、 $s_{y}^{2} = 4$ 、 $s_{x y} = 2.8$ 、 $r = 0.7$

別解

得意な人向けに、相関係数の「正体」を明かす見方を1つ。

各データの偏差を成分として並べた、 $20$ 個の成分を持つ2本の矢印(偏差のベクトル)を想像する。 $x$ の偏差の列と、 $y$ の偏差の列だ。

このとき、共分散 $s_{x y}$ は2本の「内積 ÷ $n$ 」、標準偏差はそれぞれの「長さ ÷ $n$ 」にあたる。すると

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{内積}{長さの積}$

これは、ベクトルのなす角の $cos$ の式と同じ形だ。つまり相関係数とは「偏差ベクトルどうしのなす角のコサイン」である。

$cos$ だから必ず $- 1$ 以上 $1$ 以下。 $r = 1$ は2本が同じ向き(完全な正の相関)、 $r = 0$ は直交(無相関)、 $r = - 1$ は正反対。相関係数の性質が、ぜんぶ角度の言葉に翻訳される。数学Cでベクトルの内積を学んだら、ぜひこの見方に戻ってきてほしい。

ポイント

合計値( $\sum x, \sum x^{2}, \sum x y$ など)だけで平均・分散・共分散・相関係数まで計算できる
共分散にも「積の平均 − 平均の積」の公式( $s_{x y} = \overline{x y} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ )がある
電卓統計やコンピュータの集計はこの形の合計値を使っている

よくある間違い

$\sum x y$ を $\sum x \times \sum y$ と混同する
分散・共分散の計算で合計値を $n = 20$ で割り忘れる
$r$ の分母を分散の積( $s_{x}^{2} s_{y}^{2}$ )にしてしまう(標準偏差の積が正しい)