分散の変形(2乗の平均−平均の2乗)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定義どおりの分散 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ を、展開して整理するだけの証明だ。

展開すると $\frac{1}{n}\sum x_i^2-\frac{2\bar{x}}{n}\sum x_i+\frac{1}{n}\sum (\bar{x}{)}^2$。

急所は2つ: $\sum x_i=n\bar{x}$(平均の定義の言い換え)と、$\sum (\text{定数})=n\times (\text{定数})$。代入すれば真ん中が $-2(\bar{x}{)}^2$、最後が $+(\bar{x}{)}^2$ になり、合わせて $\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$。

① 定義を展開。 $$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\bar{x}{x}_i+(\bar{x}{)}^2).$$ ② $\sum$ を分配。 $\bar{x}$ は定数だから $$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-\frac{2\bar{x}}{n}\sum x_i+\frac{1}{n}\cdot n(\bar{x}{)}^2=\overline{x^2}-2\bar{x}\cdot \bar{x}+(\bar{x}{)}^2.$$ (途中 $\frac{1}{n}\sum x_i=\bar{x}$ を使った。)

③ 整理。 $$s^2=\overline{x^2}-2(\bar{x}{)}^2+(\bar{x}{)}^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2.$$

まとめ 偏差 $2$ 乗の平均を展開し $\sum x_i=n\bar{x}$ を代入すると $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$。実際の分散計算はこの形が速い。分散と式変形の融合。

発展 — 一歩先へ。 仮平均の恒等式 $\frac{1}{n}\sum (x_i-a{)}^2=s^2+(\bar{x}-a{)}^2$ は、「どの基準で測っても、散らばりの最小記録は平均のとき」という次問の内容を先取りしている。統計的な推測(数B)では、この式の確率変数版 $E(X^2)=V(X)+\{E(X){\}}^2$ が同じ顔で再登場する — 記号は変わっても、恒等式は一生ものだ。

別解

仮平均の恒等式の特別な場合と見る。 どんな値 $a$ を基準に測っても

$$\frac{1}{n}\sum (x_i-a{)}^2=s^2+(\bar{x}-a{)}^2$$

という恒等式が成り立つ(展開すると交差項が $\sum (x_i-\bar{x})=0$ で消える)。

ここで $a=0$ とおくと、左辺は $\overline{x^2}$、右辺は $s^2+(\bar{x}{)}^2$ — 移項すれば示す式そのものだ。

つまり「2乗の平均 $-$ 平均の2乗」とは、基準点 $0$ で測った散らばりから、平均のずれの分を差し引いたもの。この恒等式は次の問題(偏差平方和の最小)でも主役で、実務では「仮平均法」(計算しやすい仮の平均で測ってから補正する)として電卓時代の分散計算を支えた式でもある。