数学I / データの分析

相関係数の計算(偏差の表)

★★ 標準共分散相関係数

問題

5人の生徒の数学 $x$ と理科 $y$ のテストの得点は次の通りであった。

$(x, y) = (2, 3), (4, 5), (6, 4), (8, 7), (10, 6)$

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

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共分散1つ・標準偏差2つを別々に出すと、偏差を何度も計算し直すことになる。そこで1枚の表に『 $x$ 偏差・ $y$ 偏差・それぞれの2乗・積』を横に並べ、列ごとに合計 — 3つの材料が一度にそろう。

解答・解説

相関係数 $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ を計算するには、共分散1つと標準偏差2つ、材料が3つ要る。これらをバラバラに計算すると偏差を何度も求め直すことになり、ミスのもとだ。

そこで、偏差の表を1枚作って全材料を同時に仕込む。各生徒について『 $x$ の偏差・ $y$ の偏差・それぞれの2乗・積』を横に並べ、列ごとに合計すれば、分散2つと共分散が一度に手に入る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相関係数 $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ の材料は3つ。共分散1つと標準偏差2つだ。

バラバラに計算すると、偏差を何度も求め直すことになってミスを呼ぶ。

そこで偏差の表を1枚作り、全材料を同時に仕込む。各生徒について「 $x$ の偏差・ $y$ の偏差・それぞれの2乗・積」を横に並べ、列ごとに合計すれば、分散2つと共分散が一度に手に入る。

公式相関係数

r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}

(

s_{x y}

は共分散=偏差の積の平均)

まず平均値。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6, \overset{y}{ˉ} = \frac{3 + 5 + 4 + 7 + 6}{5} = 5$

偏差の表を作る。 各生徒について( $x$ の偏差, $y$ の偏差)と、 $x$ 偏差の2乗・ $y$ 偏差の2乗・偏差の積を並べる。

$(- 4, - 2)$ : $16, 4, 8$
$(- 2, 0)$ : $4, 0, 0$
$(0, - 1)$ : $0, 1, 0$
$(2, 2)$ : $4, 4, 4$
$(4, 1)$ : $16, 1, 4$

列ごとの合計: $x$ 偏差の2乗和 $= 40$ 、 $y$ 偏差の2乗和 $= 10$ 、偏差の積の和 $= 16$

(検算ポイント: $x$ 、 $y$ それぞれの偏差の和が $0$ になっていることを、表を作った時点で確認しておく。)

分散・共分散・相関係数。

$s_{x}^{2} = \frac{40}{5} = 8, s_{y}^{2} = \frac{10}{5} = 2, s_{x y} = \frac{16}{5} = 3.2$

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{3.2}{8 \times 2} = \frac{3.2}{16} = \frac{3.2}{4} = 0.8$

分母は $8 \times 2 = 16 = 4$ 。根号のまま掛けてから外すときれいに整数になる。 $8 = 2.83 \dots$ などと途中で小数にしないこと。

$r = 0.8$ なので、数学と理科の得点にはかなり強い正の相関がある。散布図では点が右上がりの帯状に並ぶイメージだ。

数学 x と理科 y の散布図(r = 0.8: 強い正の相関)

発展 — 一歩先へ。 $r = 0.8$ は「かなり強い正の相関」だ。散布図を描くと、5点が右上がりの帯に乗っている様子が確認できる。数値と図を往復して確かめる習慣は、相関の読み違い(外れ値による見かけの相関など)への備えになる。

相関が強くても、それは「一緒に動く」ことしか意味しない。片方が原因でもう片方が結果、という因果関係までは言えない。この区別は、データを扱う全分野で最重要の注意である。

答

$r = 0.8$

数を小さくしてから表を作る方法もある。相関係数は、1次式の変換で値が変わらない(正の倍率なら)という性質を使うのだ。

$x$ は全部偶数なので $u = \frac{x - 6}{2}$ 、 $y$ は $v = y - 5$ と変換すると

$u = - 2, - 1, 0, 1, 2 v = - 2, 0, - 1, 2, 1$

平均はどちらも $0$ だから、値そのものが偏差になる。積の和は $4 + 0 + 0 + 2 + 2 = 8$ 、 $u^{2}$ の和は $10$ 、 $v^{2}$ の和は $10$ 。

$r = \frac{8/5}{2 \times 2} = \frac{1.6}{2} = 0.8$

元の $x, y$ で計算した値と一致する。変換の性質(あとの問題で正面から学ぶ)を先取りして使うと、2桁の2乗計算が1桁の暗算に変わる。