変量の変換と相関係数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単位を変えたら(点→パーセント、cm→m など)相関係数はどうなるか、という問題だ。

カギは偏差の変化を追うこと。$u=ax+b$ と変換すると、偏差は $a$ 倍になる($b$ は偏差に影響しない)。

すると共分散は $a$ 倍、標準偏差は $|a|$ 倍。相関係数は分子と分母で大きさが約分され、残るのは $a$ の符号だけ。「相関係数は単位に依らない。符号だけが変わり得る」が結論の形だ。

一般に $u=ax+b$($a\ne 0$)と変換すると、偏差は $u-\bar{u}=a(x-\bar{x})$ になる。平均も一緒に動くので、$b$ は偏差から消えてしまう。これをもとに各場合を考える。

(1) $u=x+10$($a=1$)では偏差がまったく変わらないので、共分散も標準偏差もすべて元のまま。よって

$$r_{uy}=0.6$$

全員に $10$ 点足しても『連動の強さ』が変わらないのは直感どおりだろう。

(2) $v=2y$ とすると、$y$ の偏差が $2$ 倍になるので

$$s_{xv}=2s_{xy},s_v=2s_y$$

相関係数は

$$r_{xv}=\frac{2s_{xy}}{s_x\times 2s_y}=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=0.6$$

分子の $2$ と分母の $2$ が約分されて消える。相関係数が割り算で定義されているおかげで、倍率の影響が自動的に打ち消されるのだ。

(3) $u=-x$ とすると、$x$ の偏差が $-1$ 倍になるので

$$s_{uy}=-s_{xy},s_u=|-1|s_x=s_x$$

共分散は符号ごと反転するが、標準偏差は必ず正なので絶対値がついて変わらない。この非対称のせいで、約分しきれない符号が1つ残る。

$$r_{uy}=\frac{-s_{xy}}{s_x{s}_y}=-0.6$$

(意味を考えれば当然で、$x$ の符号を反転すれば『$x$ が増えると $y$ も増える』関係は『$u$ が増えると $y$ は減る』関係に裏返る。)

まとめ。 相関係数は、平行移動や正の倍率の変換では変わらず、負の倍率を掛けると符号だけが反転する。つまり $r$ は単位の取り方によらない量だ。点数で測ろうがパーセントで測ろうが同じ値になる。だからこそ、異なるデータの間で『連動の強さ』を比べる共通のものさしとして使える。

発展 — 一歩先へ。 「単位に依らない」からこそ、相関係数は違う現象どうしの比較に使える。気温とアイスの売上(${}^{\circ }$C と円)、身長と体重(cm と kg)。単位の混ざった世界を、$-1$ から $1$ の1本の物差しに乗せるのが $r$ の役目だ。

この不変性は、実際の計算の時短にも使える(データから定数を引き、キリのいい数で割ってから $r$ を計算してよい)。相関係数の計算問題で威力を発揮する。

別解

散布図の絵で考えると、計算なしで結論が見える。相関係数は「点の並びが直線にどれだけ近いか」を測る量だからだ。

(1) $x$ に $10$ を足すのは、散布図全体を右へ平行移動すること。点の並びの形はまったく変わらない。だから $r=0.6$ のまま。

(2) $y$ を $2$ 倍するのは、縦方向に引き伸ばすこと。帯は縦長になるが、「直線への乗り具合」は変わらない。$r=0.6$ のまま。

(3) $x$ を $-1$ 倍するのは、左右の反転。右上がりの並びが右下がりに裏返る。強さは同じで向きだけ逆、$r=-0.6$。

「平行移動と拡大縮小では形の崩れ方が変わらない。反転だけが向きを裏返す」。この絵を持っておくと、公式を忘れても符号を間違えない。