数学I / データの分析

人数の異なる2グループの統合と標準偏差

★★★ 応用平均値分散グループの統合

問題

A組 $20$ 人の得点は平均値 $65$ 点、分散 $24$ 、B組 $30$ 人の得点は平均値 $60$ 点、分散 $34$ であった。A組とB組を合わせた $50$ 人全体について、平均値・分散・標準偏差を求めよ。

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同人数の合併の発展 — 人数が違う。平均を単純に $(65 + 60) \div 2$ とするのは誤り。人数の重みを効かせるには『足せる量』に降りるしかない。総和・2乗の総和で合算してから、全体の平均・分散へ戻す。

解答・解説

方針

同人数のグループを合併する問題の発展形だ。今度は $20$ 人と $30$ 人、人数がちがう。

平均値を $(65 + 60) \div 2 = 62.5$ とするのは誤りで、人数の重みを効かせるには総和に戻るしかない。分散も同じ方針。各組の『2乗の総和』を $\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ で復元し、足せる量(総和・2乗総和)のレベルで合算してから、全体の $\overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ を計算する。

数値が大きくなるので、段取りを整えてていねいに進めることも実力のうちだ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 人数の違う $2$ 組を合わせる。

平均を単純に $\frac{65 + 60}{2} = 62.5$ とするのは罠だ。人数の重みを無視している。

頼れる道は $1$ つ。総和と $2$ 乗の総和に還元し、そのレベルで合算してから、平均・分散へ組み立て直す。

同人数の合併と同じ背骨に、「重み」の注意が加わっただけ。そう構造を見抜けば手が動く。

公式

\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}

。平均・分散は足せない、総和・2乗総和は足せる

まず全体の平均値。 平均は足せないが総和は足せる。まず各組の総和に戻す。

$A 組 : 65 \times 20 = 1300, B 組 : 60 \times 30 = 1800$

よって全体の平均値は

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1300 + 1800}{50} = \frac{3100}{50} = 62 (点)$

単純平均の $62.5$ ではなく、人数の多いB組の平均 $60$ 点側に寄った $62$ になる。重みつき平均の感覚だ。

次に各組の2乗の総和を復元する。 $\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}$ より

A組: $\overline{x^{2}} = 24 + 6 5^{2} = 24 + 4225 = 4249$ 、2乗の総和は $4249 \times 20 = 84980$
B組: $\overline{x^{2}} = 34 + 6 0^{2} = 34 + 3600 = 3634$ 、2乗の総和は $3634 \times 30 = 109020$

全体の分散と標準偏差。 2乗の総和も足せる量なので、全体の2乗の平均は

$\overline{x^{2}} = \frac{84980 + 109020}{50} = \frac{194000}{50} = 3880$

よって全体の分散は

$s^{2} = 3880 - 6 2^{2} = 3880 - 3844 = 36$

標準偏差は

$s = 36 = 6 (点)$

結論。 平均値 $62$ 点、分散 $36$ 、標準偏差 $6$ 点。

振り返り。 同人数の合併と合わせて、この型の要点は一言だ。平均・分散は足せない。総和・2乗総和なら足せる。だから『足せる量に降りて、合算して、また統計量に戻る』。この往復が解法の全構造だ。全体の分散 $36$ が各組の分散( $24$ 、 $34$ )より大きいのも同じ理屈で説明できる。組内の散らばりに、組間の平均差( $65$ と $60$ )による散らばりが上乗せされるからだ。大きな数の計算は、 $6 5^{2} = 4225$ のような要所で指差し確認をしながら、段取りどおり進めれば恐れることはない。

発展 — 一歩先へ。 全体の平均 $62$ は、 $2$ 組を「おもり」と見たときのつり合いの点だ。 $20$ 人が $65$ に、 $30$ 人が $60$ にぶら下がると、支点は人数の多い $60$ の側へ寄って $62$ で止まる。

これは物理の重心と同じ考えで、位置 $x_{i}$ に重さ $n_{i}$ を置いたときのつり合いの点が加重平均になる。単純平均 $62.5$ でなく $62$ になるのは、 $60$ 側のおもりが重いからだ。

この重みつき平均は、評定平均(単位数で重みづけ)や、原子量(同位体の存在比で重みづけ)など、いたるところに現れる。「重みつきでならす」感覚は、 $3$ 組でも $4$ 組でも、そのまま通用する。

答

平均値 $62$ 点、分散 $36$ 、標準偏差 $6$ 点

別解

別解 — 級内と級間に分けて分散を組む(得意な人向けの視点)。 全体の分散は、 $2$ 乗総和を作らなくても、「組の中の散らばり」と「組どうしの差の散らばり」に分けて組み立てられる。

まず組の中の散らばり。各組の分散を人数で重みづけして平均する。

$\frac{20 \cdot 24 + 30 \cdot 34}{50} = \frac{480 + 1020}{50} = 30.$

次に組どうしの差の散らばり。各組の平均 $65$ 、 $60$ が、全体の平均 $62$ からどれだけ離れているかを、人数で重みづけして $2$ 乗平均する。

$\frac{20 \cdot ( 65 - 62 ) ^{2} + 30 \cdot ( 60 - 62 ) ^{2}}{50} = \frac{20 \cdot 9 + 30 \cdot 4}{50} = \frac{300}{50} = 6.$

全体の分散は、この $2$ つの和だ。

$s^{2} = 30 + 6 = 36, s = 36 = 6.$

$2$ 乗総和を復元する本解と同じ $36$ に着く。この見方だと、なぜ全体の分散 $36$ が各組の分散 $24$ 、 $34$ より大きいのかが分かる。組の中の散らばり $30$ に、組どうしの平均差による散らばり $6$ が必ず上乗せされるからだ。素朴に $\frac{20 \cdot 24 + 30 \cdot 34}{50} = 30$ と答えると、この $+ 6$ の分をちょうど落とすことになる。

ポイント

人数が異なる場合の平均は重みつき — 総和に戻して割る
分散の統合は「2乗の総和」を復元して合算する。分散の重みつき平均では正しくない
グループ間の平均差があると、全体の分散は各グループの分散を上回りうる

よくある間違い

全体の平均を $\frac{65 + 60}{2} = 62.5$ とし、 $20$ 人と $30$ 人という人数の重みを無視する。
全体の分散を $\frac{24 \times 20 + 34 \times 30}{50} = 30$ とし、組の平均差による上乗せ分を落とす。
平均・分散をそのまま平均できると思い込み、総和・ $2$ 乗総和という足せる量に降りずに手が止まる。