平均値・中央値・最頻値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 代表値が $3$ つ出てくる。それぞれ「どこを見るか」が違うので、混ぜないことが第一だ。

• 平均値: 全部足して個数で割る。データ全体をならした値
• 中央値: 小さい順に並べてまん中。個数が偶数なら、まん中 $2$ つの平均
• 最頻値: いちばん多く出てくる値。最大値ではない

まず小さい順に並べる。並べれば中央値も最頻値も目で読める。この問題は最初から並んでいるので、あとは数えるだけだ。

平均値。 総和を求めると

$$2+3+3+4+5+6+6+7+7+7=50$$

データは $10$ 個なので

$$\text{平均値}=\frac{50}{10}=5(\text{点})$$

中央値。 データはもう小さい順に並んでいる(並んでいない問題では、まず並べかえるところから始める。ここを省くと確実に間違う)。$10$ 個(偶数個)なので『ちょうどまん中の1個』はない。中央値は $5$ 番目と $6$ 番目の値の平均をとる。$5$ 番目は $5$、$6$ 番目は $6$ なので

$$\text{中央値}=\frac{5+6}{2}=5.5(\text{点})$$

最頻値。 各値の個数を数えると、$7$ が $3$ 個で最も多い。よって

$$\text{最頻値}=7(\text{点})$$

まとめ:結果は $5$、$5.5$、$7$。同じデータなのに『真ん中』が3つとも別の値になった。どれが正しいという話ではなく、目的で使い分ける。たとえば1人だけ100点のような極端な値が混ざると平均値は大きく引っぱられるが、中央値はほとんど動かない。ニュースで所得の代表値に中央値が使われるのは、このためだ。

発展 — 一歩先へ。 この $3$ つの代表値は、実は「中心からのズレを、どう測って最小にするか」という $1$ つの問いの $3$ つの答えである。

• ズレの $2$ 乗の和を最小にする点 → 平均値
• ズレの絶対値の和を最小にする点 → 中央値
• ズレが $0$ である個数を最大にする点 → 最頻値

たとえば $\sum (x_i-c{)}^2$ を $c$ の $2$ 次関数と見て平方完成すると、$c=(\text{平均})$ で最小になる。$2$ 次関数の最小値の議論が、そのまま統計に現れるのだ。

「中心はどこか」という素朴な問いに、測り方を変えると違う答えが返ってくる — どれが正しいかではなく、目的に応じて選ぶ。これが統計の基本姿勢である。

別解

平均は「仮の平均からのズレの平均」で出せる。 大きな数の足し算を避けられる、実務的なテクニックだ。

手順1: 仮の平均をあてずっぽうで決める。 見た目から $5$ 点くらいだろう、と当たりをつける。

手順2: 各データが仮の平均からどれだけズレているかを書く。

$$-3,-2,-2,-1,0,+1,+1,+2,+2,+2$$

手順3: ズレの合計を出す。 負の合計は $-8$、正の合計は $+8$。合わせて $0$ である。

手順4: ズレの平均を仮の平均に足す。

$$(\text{平均})=5+\frac{0}{10}=5(\text{点})$$

ズレの合計がちょうど $0$ — つまり仮の平均 $5$ がぴったり本当の平均だった。

この計算は、平均の正体を教えてくれる。 平均とは「プラスのズレとマイナスのズレがつり合う点」だ。データを数直線上の重りだと思うと、平均はシーソーの支点になる。だから偏差(平均からのズレ)の合計は必ず $0$ になる — この事実は分散の計算でも効いてくる。

$3$ つの代表値の性格の違いも見ておきたい。もし $7$ 点の生徒 $1$ 人が、記録ミスで $70$ 点と入力されていたらどうなるか。

• 平均値: $5$ 点 → $11.3$ 点。たった $1$ 人で大暴れする
• 中央値: $5.5$ 点 → $5.5$ 点。びくともしない(まん中の順位は変わらないから)

平均は極端な値に弱く、中央値は強い。 世帯収入の統計で「平均年収」より「中央値」がよく引き合いに出されるのは、少数の大富豪に平均が引っ張られるからだ。代表値は $1$ つで済ませず、性格の違いを踏まえて選ぶ。