和のデータの分散(共分散が現れる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和のデータ $z$ の偏差は、偏差の和になる:

$z_i-\bar{z}=(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y})$($\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}$ だから)。

2乗して平均をとれば、$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ の展開そのままに

$s_z^2=s_x^2+2s_{xy}+s_y^2$ — 分散2つと共分散の2倍。$s_{xy}=r{s}_x{s}_y$ と $-1\le r\le 1$ を使えば、最大・最小も読める。

① 偏差の和を $2$ 乗平均。 $z_i-\bar{z}=(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y})$ より $$s_z^2=\frac{1}{n}\sum \{(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y}){\}}^2=s_x^2+2s_{xy}+s_y^2.$$ (交差項 $\frac{2}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=2s_{xy}$。)

② 相関で書き直す。 $s_{xy}=r{s}_x{s}_y$ を入れて $$s_z^2=s_x^2+s_y^2+2r{s}_x{s}_y.$$ ③ 最大・最小。 $-1\le r\le 1$ で、

• $r=1$ のとき最大 $s_x^2+s_y^2+2s_x{s}_y=(s_x+s_y{)}^2$($x,y$ が完全に同じ向きに動く)。
• $r=-1$ のとき最小 $s_x^2+s_y^2-2s_x{s}_y=(s_x-s_y{)}^2$($x,y$ が完全に逆向きに動き、ばらつきが打ち消し合う)。

まとめ $s_z^2=s_x^2+s_y^2+2s_{xy}=s_x^2+s_y^2+2r{s}_x{s}_y$。$r=1$ で最大 $(s_x+s_y{)}^2$、$r=-1$ で最小 $(s_x-s_y{)}^2$。分散と共分散・相関の融合。

発展 — 一歩先へ。 差 $w=x-y$ なら符号が変わって $s_w^2=s_x^2+s_y^2-2r{s}_x{s}_y$ — 正の相関があるペアの「差」は安定する(誤差の相殺)。無相関($r=0$)なら $s_z^2=s_x^2+s_y^2$ と分散が足し算になり、これが数Bで学ぶ「独立な確率変数の分散の加法性 $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$」の原型。測定を $n$ 回平均すると誤差が $\frac{1}{\sqrt{n}}$ に縮む、という実験科学の大原則もこの延長線上にある。

別解

偏差ベクトルの「余弦定理」と見る。 前問(相関係数)の描像 — 偏差ベクトル $\vec{X},\vec{Y}$ とそのなす角 $\theta$($\cos \theta =r$)— を使うと、$z=x+y$ の偏差ベクトルは $\vec{X}+\vec{Y}$ で

$$n{s}_z^2=|\vec{X}+\vec{Y}{|}^2=|\vec{X}{|}^2+|\vec{Y}{|}^2+2\vec{X}\cdot \vec{Y}$$

— ベクトルの和の長さの公式(余弦定理)そのものだ。$n$ で割れば

$$s_z^2=s_x^2+s_y^2+2r{s}_x{s}_y$$

最大は $r=1$($\vec{X}\parallel \vec{Y}$、同じ向き)で $(s_x+s_y{)}^2$、最小は $r=-1$(逆向き)で $(s_x-s_y{)}^2$ — 「2本のベクトルを足すと、平行なら長さが足し算、逆向きなら引き算」という図形の直感が、そのまま分散の増減になる。

展開計算(本解)が答案の本文、ベクトルの絵は「なぜ共分散が2倍付くのか($2\vec{X}\cdot \vec{Y}$ の交差項)」の記憶術。相関・分散・共分散が、$n$ 次元の三角形1枚の上で統一される。