数学I / データの分析

度数分布表の平均値と中央値の階級

★★ 標準度数分布表代表値

問題

あるクラス40人のテストの得点(100点満点)を度数分布表に整理したところ、次のようになった。

(1) 階級値を用いて平均値を求めよ。

(2) 中央値が含まれる階級を答えよ。

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(2)がヤマ。度数分布表では個々の値が不明だから、中央値の『値』は出せない。でも『何番目の人がどの階級か』なら追える。上から人数を積み上げて、まん中の順位がどの階級に落ちるかを探そう。

解答・解説

(1)は基礎で学んだとおり、(階級値 × 度数)の総和を総度数 $40$ で割るだけだ。

(2)がこの問題のヤマだ。度数分布表では個々の得点がわからないので、中央値の値は求められない。でも『何番目の人がどの階級にいるか』なら追える。

$40$ 人の中央値は $20$ 番目と $21$ 番目の平均。そこで累積度数(その階級までの人数の合計)を上から順に足していき、 $20$ 番目・ $21$ 番目の人がどの階級で現れるかを突き止める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 度数分布表では、個々の得点はもう分からない。だから「表から求められるもの」と「求められないもの」の区別が出発点になる。

平均値は、各階級の真ん中(階級値)で代表させて計算する近似値だ。

中央値は、値そのものは出せない。でも「何番目の人がどの階級にいるか」なら追える。累積度数を上から足していき、40人の真ん中(20番目と21番目)がどの階級に落ちるかを探す。

公式度数分布表の平均値

= \frac{\sum ( 階級値 \times 度数 )}{総度数}

。中央値の階級は累積度数で追う

(1) 各階級の階級値は $10, 30, 50, 70, 90$ 点だ。(階級値 × 度数)の総和は

$10 \times 2 + 30 \times 6 + 50 \times 14 + 70 \times 12 + 90 \times 6 = 20 + 180 + 700 + 840 + 540 = 2280$

よって

$平均値 = \frac{2280}{40} = 57 (点)$

(2) $40$ 人の中央値は、小さいほうから $20$ 番目と $21$ 番目の得点の平均だ。個々の得点は表からわからないが、順位がどの階級に落ちるかは数えられる。累積度数を順に計算すると

$8$ 番目までの人は $40$ 点未満、 $9$ 番目から $22$ 番目までの人が $40$ 点以上 $60$ 点未満の階級にいる。 $20$ 番目も $21$ 番目もこの中に入る。

よって中央値が含まれる階級は $40$ 点以上 $60$ 点未満の階級だ。

『中央値そのもの』ではなく『中央値が含まれる階級』を聞かれている理由がここにある。度数分布表からわかるのはそこまで、という情報の限界を意識できると、統計の問題文が正確に読めるようになる。

得点のヒストグラム(階級の幅 20 点)

発展 — 一歩先へ。 度数分布表の平均が「近似値」なのは、各人の得点を階級の真ん中で代用しているからだ。元データから直接計算した平均とは、ふつう少しずれる。まとめ方(階級の幅)によって統計量が変わる、という感覚は資料を読むときの大切な警戒心になる。

別解の仮平均の考え方は、あとで学ぶ変量の変換( $y = x - 50$ と引いてから計算する)の実用版そのものだ。

答

(1) $57$ 点 (2) $40$ 点以上 $60$ 点未満の階級

(1)の平均は、「仮の平均」を置いて、ずれだけを集計する方法もある。

真ん中の階級値 $50$ を仮の平均にすると、各階級値のずれは $- 40, - 20, 0, + 20, + 40$ 。度数を掛けて合計すると

$(- 40) \times 2 + (- 20) \times 6 + 0 \times 14 + 20 \times 12 + 40 \times 6 = - 80 - 120 + 240 + 240 = 280$

ずれの平均は $280 \div 40 = 7$ 。よって平均値は $50 + 7 = 57$ 点。

大きい数の掛け算( $70 \times 12$ など)が、小さいずれの計算に置き換わる。「平均=基準+ずれの平均」という見方は、電卓のない試験場で威力を発揮するし、次の変量の変換の考え方にもつながっている。