尺度の異なる2つの成績を標準化して比較する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 得点の差(点数)だけでは比べられない。国語と数学では平均も散らばりも違うからだ。$78$ 点が $72$ 点より高い、では相対的な良さは測れない。

比べるには「平均から標準偏差いくつ分離れているか」にそろえる。これが標準化 $z=\frac{x-\bar{x}}{s}$。

国語は $z=\frac{72-60}{12}=1$、数学は $z=\frac{78-54}{16}=1.5$。同じ“ものさし”に乗せると、数学の方が平均から上に離れている(相対的に良い)。

① 国語を標準化する。 平均 $60$、標準偏差 $12$、得点 $72$ だから

$$z_{\text{国}}=\frac{72-60}{12}=1$$

② 数学を標準化する。 平均 $54$、標準偏差 $16$、得点 $78$ だから

$$z_{\text{数}}=\frac{78-54}{16}=\frac{24}{16}=1.5$$

③ 比べる。 $z_{\text{数}}=1.5>z_{\text{国}}=1$。数学のほうが、平均から標準偏差の何個分も上にあるので、相対的に良い成績。

まとめ:得点そのものではなく「標準偏差を単位にした平均からの距離」で比べるのが公平。数学は素点の差が大きい($78>72$)だけでなく、集団の中での位置(標準化した値)も上。素点だけで判断すると、散らばりの違いを見落とす。

発展 — 一歩先へ。 標準化 $z=\frac{x-\bar{x}}{s}$ を $50+10z$ に乗せ替えたのが偏差値。国語の偏差値は $50+10\cdot 1=60$、数学は $50+10\cdot 1.5=65$。標準化は「異なる分布のデータを共通のものさしで比べる」ための基本操作で、正規分布と組み合わせると「上位何%か」まで分かる(統計的推測の入り口)。

別解

別解 — 「平均からの隔たり」を標準偏差の目盛りで直感的に読む(苦手な人向け)。 標準化 $z$ は「平均から標準偏差何個分ずれているか」を数えたもの。定規の目盛りを、科目ごとの標準偏差に取り替えると考えるとよい。

国語: 平均 $60$ からこの生徒の $72$ までは $12$ 点上。国語の標準偏差はちょうど $12$ 点だから、「標準偏差 $1$ 個分」上。$z=1$。

数学: 平均 $54$ から $78$ までは $24$ 点上。数学の標準偏差は $16$ 点だから、$24÷16=1.5$ 個分上。$z=1.5$。

同じ「標準偏差何個分」という目盛りで比べると、数学($1.5$ 個分)の方が国語($1$ 個分)より高い位置。だから相対的に数学が良い。

$z=\frac{x-\bar{x}}{s}$ の式(本解)と同じだが、「標準偏差を $1$ 目盛りにした定規で、平均から何目盛り上か」と読むと、なぜ点数の差でなく標準偏差で割るのかが腑に落ちる。偏差値($=50+10z$)も、この $z$ を $50$ 中心・$10$ 刻みに乗せ替えただけだ。