数学I / データの分析

2つのデータを訂正したときの平均と分散

★★★★ 難関分散データの修正分散の公式

問題

$20$ 個のデータがあり、平均は $15$ 、分散は $9$ であった。あとで、データのうち $2$ 個の値 $10$ と $20$ が、正しくはそれぞれ $12$ と $18$ であったことがわかった。訂正後のデータの平均と分散を求めよ。

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平均は合計で決まる。訂正で合計はどれだけ変わるか。分散は「 $2$ 乗の平均 $-$ (平均) $^{2}$ 」だから、 $2$ 乗の合計 $\sum x^{2}$ の変化を追えばよい。

解答・解説

方針

平均は「合計 $\div$ 個数」。訂正で合計の変化は $(- 10 - 20) + (12 + 18) = 0$ なので平均は不変。分散は「 $2$ 乗の平均 $-$ 平均 $^{2}$ 」。 $2$ 乗の合計 $\sum x^{2}$ の変化を追う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均と分散を、 $1$ 個ずつ再計算するのは無駄。「合計」と「 $2$ 乗の合計」の変化だけを追う。

平均は「合計 $\div$ 個数」。訂正による合計の変化は $(- 10 - 20) + (12 + 18) = 0$ 。だから平均 $15$ は変わらない。

分散は「 $2$ 乗の平均 $-$ 平均 $^{2}$ 」。平均が不変なので、 $\sum x^{2}$ の変化だけ追えばよい。 $2$ 乗の合計の変化 $(1 2^{2} + 1 8^{2}) - (1 0^{2} + 2 0^{2}) = 468 - 500 = - 32$ を反映させる。

公式分散

= (2 乗の平均) - (平均)^{2} = \frac{\sum x ^{2}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}

① 平均の変化。 合計の変化は $(- 10 - 20) + (12 + 18) = - 30 + 30 = 0$ 。合計が変わらないので、平均は $15$ のまま。

② $2$ 乗の合計を出す。 元の分散 $9 = \frac{\sum x ^{2}}{20} - 1 5^{2}$ より

$\sum x^{2} = 20 (9 + 225) = 20 \cdot 234 = 4680$

③ $2$ 乗の合計の変化。 $10, 20$ を除いて $12, 18$ を加える。

$\sum x^{2} \to 4680 - (1 0^{2} + 2 0^{2}) + (1 2^{2} + 1 8^{2}) = 4680 - 500 + 468 = 4648$

④ 訂正後の分散。 平均は $15$ のままだから

$分散 = \frac{4648}{20} - 1 5^{2} = 232.4 - 225 = 7.4$

まとめ:データの訂正は「合計」と「 $2$ 乗の合計」の増減だけ追えばよい。今回は合計が不変で平均は変わらず、 $2$ 乗の合計が減ったので分散だけが $9 \to 7.4$ と小さくなった(極端な値が中央寄りに直ったため)。分散は $\sum x^{2}$ 経由で扱うのが定石。

発展 — 一歩先へ。 データを訂正・追加・削除したときの平均・分散の更新は、 $\sum x$ と $\sum x^{2}$ の $2$ つを保持すれば全データを見直さずに済む。この「 $2$ つの累積和で分散が計算できる」性質は、大量データをリアルタイムに集計する場面(オンライン統計、ストリーム処理)で重宝される。

答

平均 $15$ (変わらない)、分散 $7.4$

別解

別解 — 分散を「平均まわりの偏差の $2$ 乗和」で直接追う(得意な人向けの視点)。 平均が $15$ で不変だから、各データの「平均 $15$ からの偏差」の $2$ 乗和を追えば分散が出る。分散 $= \frac{\sum ( x _{i} - 15 ) ^{2}}{20}$ 。

元の分散 $9$ より $\sum (x_{i} - 15)^{2} = 180$ 。訂正で変わるのは $2$ 個だけ。

$10 \to 12$ : 偏差の $2$ 乗が $(10 - 15)^{2} = 25$ から $(12 - 15)^{2} = 9$ へ、 $- 16$ 。
$20 \to 18$ : $(20 - 15)^{2} = 25$ から $(18 - 15)^{2} = 9$ へ、 $- 16$ 。

偏差 $2$ 乗和の変化は $- 32$ 。新しい和は $180 - 32 = 148$ 、新しい分散は $\frac{148}{20} = 7.4$ 。

$\sum x^{2}$ を追う本解と同じ $- 32$ の変化に着くが、「平均が変わらない」ので偏差の $2$ 乗を直接追える。訂正で $10, 20$ ( $平均から$ \pm5 $) が$ 12,18 $($ 平均から $\pm 3$ )へ、平均に近づいたぶん散らばりが減る、という意味が見える。

ポイント

合計の変化 $0$ → 平均は $15$ で不変。
$\sum x^{2}$ を $4680 \to 4648$ と更新し、分散 $= \frac{4648}{20} - 225 = 7.4$ 。

よくある間違い

平均が訂正で変わると思い込む(合計変化 $0$ なので不変)。
分散を $1$ 個ずつ再計算して手間取る( $\sum x^{2}$ か偏差 $2$ 乗和の変化だけ追う)。
$2$ 乗の合計の変化 $(1 2^{2} + 1 8^{2}) - (1 0^{2} + 2 0^{2}) = - 32$ の計算を誤る。