得点調整と相対的な位置

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)(2) は変換公式の当てはめで進む。核心は (3) だ。

得点そのものは $66$ から $70$ へ変わった。では集団の中での位置は変わったのか。

比べるものさしを、絶対の点数から「平均から標準偏差何個分か」に切り替える。これが標準化した値で測る相対的な位置だ。

$1$ 次の得点調整は、全員を一斉に動かすだけ。だから標準化した値は変わらないはず。それを変換公式で確かめにいく。

(1) $a=\frac{5}{6}$、$b=15$ の1次式変換なので

$$\bar{y}=\frac{5}{6}\times 42+15=35+15=50(\text{点})$$

$$s_y=\left|\frac{5}{6}\right|\times 12=10(\text{点})$$

(2) $x=66$ を代入して

$$y=\frac{5}{6}\times 66+15=55+15=70(\text{点})$$

(3) 得点そのものは $66\to 70$ と変わった。では集団内の位置はどうか。『平均値から標準偏差何個分離れているか』を前後で計算する。

調整前:

$$\frac{66-42}{12}=\frac{24}{12}=2$$

調整後:

$$\frac{70-50}{10}=\frac{20}{10}=2$$

どちらも『平均より標準偏差 $2$ 個分だけ高い』位置。完全に一致する。

理由。 1次式変換 $y=ax+b$($a>0$)では、偏差が $a$ 倍($y-\bar{y}=a(x-\bar{x})$)、標準偏差も同じ $a$ 倍($s_y=a{s}_x$)になるので、その比

$$\frac{y-\bar{y}}{s_y}=\frac{a(x-\bar{x})}{a{s}_x}=\frac{x-\bar{x}}{s_x}$$

は変換の前後で変わらない。分子と分母が同じ倍率で伸び縮みするからだ。

振り返り。 『平均から標準偏差何個分か』という比は、まさに標準化で作った量であり、偏差値の中身でもある。この問題が示したのは、1次式の得点調整は見かけの数値を変えるだけで、集団内での相対的な位置は1ミリも動かさない、という事実だ。調整後の $70$ 点は、調整前の $66$ 点と『同じ偉さ』なのだ。試験の得点調整が公平でありうる理由を、数式が保証してくれている。

発展 — 一歩先へ。 「平均から標準偏差何個分か」を $50+10\times (\text{それ})$ に乗せ替えたのが偏差値だ。この生徒の偏差値は調整の前後どちらも $70$ で、位置が変わっていないことがそのまま読める。

ただし $1$ 次変換が保つのは相対的な位置だけで、分布の形は変えない。もともと得点が偏っていれば、偏差値にしても偏りは残る。偏差値が素直に「上位何%か」に対応するのは、分布がおよそ左右対称(正規分布に近い)ときだ。

$a<0$ なら上下が反転し、位置の高低が逆になる点も注意したい。理屈のうえでは偏差値が $0$ を下回ったり $100$ を超えたりもありうる。偏差値は万能の物差しではなく、前提つきの便利な道具だ。

別解

別解 — 目印の点を追って標準偏差の目盛りで読む(苦手な人にも実感できるルート)。 公式を思い出すかわりに、目印になる点が変換でどこへ行くかを追う。

まず平均そのもの。$x=42$ を入れると $y=\frac{5}{6}\cdot 42+15=50$。だから新しい平均は $50$。

次に「平均より標準偏差 $1$ 個分上」の点。$x=42+12=54$ を入れると $y=\frac{5}{6}\cdot 54+15=60$。これは新しい平均 $50$ より $10$ 上。つまり新しい標準偏差は $10$。

この生徒の $66$ 点は、$66=42+2\times 12$ だから「平均より標準偏差 $2$ 個分上」。変換すると $y=\frac{5}{6}\cdot 66+15=70$ で、新しい平均 $50$ より $20$ 上。これは新しい標準偏差 $10$ の $2$ 個分だ。

前も後も「平均より標準偏差 $2$ 個分上」で、位置は $1$ ミリも動かない。公式を使う本解と同じ結論だが、目盛りを追うと、標準偏差何個分かが保たれる様子が目に見える。