数学I / データの分析

箱ひげ図をかくための五数要約

★ 基礎箱ひげ図四分位数

問題

12人の生徒の1週間の読書時間は次の通りであった。

$3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16 (時間)$

箱ひげ図をかくために必要な、最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値の5つの値を求めよ。また、範囲と四分位範囲も求めよ。

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箱ひげ図に必要なのは5つの値(最小・ $Q_{1}$ ・中央・ $Q_{3}$ ・最大)。データが偶数個なら前半・後半がきっちり半分ずつに分かれる。両端の最小・最大を忘れずに、各組のまん中を取ろう。

解答・解説

方針

箱ひげ図をかくのに必要な材料は『最小値・ $Q_{1}$ ・中央値・ $Q_{3}$ ・最大値』の5つ。これを五数要約と呼ぶ。

今回はデータが $12$ 個(偶数個)なので、中央値は $6$ 番目と $7$ 番目の平均。偶数個の場合は下組・上組がちょうど $6$ 個ずつにきっちり分かれる(奇数個のときのように中央値を除く操作はいらない)。

あとは各組で中央値をとれば $Q_{1}$ 、 $Q_{3}$ が出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 五数要約(最小値・ $Q_{1}$ ・中央値・ $Q_{3}$ ・最大値)は、箱ひげ図をかくための $5$ つの目印だ。

手順は前問と同じ。並べる → まん中で $2$ つに割る → それぞれのまん中をとる。

今回はデータが $12$ 個(偶数)。偶数個のときは、まん中の $2$ 個( $6$ 番目と $7$ 番目)の平均が中央値になる。そして除く値がないので、下組・上組はきれいに $6$ 個ずつに分かれる。

奇数個(まん中を除く)と偶数個(除かない)の違いだけ押さえれば、あとは数えるだけである。

公式五数要約:最小値・

Q_{1}

・中央値・

Q_{3}

・最大値。箱ひげ図はこの5つで決まる

データは小さい順に並んでいる( $12$ 個)。

最小値・最大値。 最小値 $3$ 、最大値 $16$ だ。忘れがちだが、五数要約の両端はこの2つ。真っ先にメモしておく。

中央値。 $12$ 個のまん中は $6$ 番目と $7$ 番目の平均だ。 $6$ 番目は $8$ 、 $7$ 番目は $9$ なので

$Q_{2} = \frac{8 + 9}{2} = 8.5 (時間)$

第1四分位数。 下組は前半の $6$ 個 $3, 5, 6, 7, 8, 8$ だ。その中央値は $3$ 番目と $4$ 番目の平均で

$Q_{1} = \frac{6 + 7}{2} = 6.5 (時間)$

第3四分位数。 上組は後半の $6$ 個 $9, 10, 12, 13, 14, 16$ だ。その中央値は

$Q_{3} = \frac{12 + 13}{2} = 12.5 (時間)$

範囲と四分位範囲。

$範囲 = 16 - 3 = 13, 四分位範囲 = 12.5 - 6.5 = 6 (時間)$

箱ひげ図に翻訳すると、箱の左端が $Q_{1} = 6.5$ 、箱の中の線が中央値 $8.5$ 、箱の右端が $Q_{3} = 12.5$ 、ひげの両端が最小値 $3$ と最大値 $16$ だ。箱の中にデータの約半数が詰まっている。箱ひげ図は五数要約を1枚の絵にしただけ、とわかれば、読み取りも作図も怖くない。

読書時間の箱ひげ図(最小値 3、Q1 = 6.5、中央値 8.5、Q3 = 12.5、最大値 16)

発展 — 一歩先へ。 箱ひげ図とヒストグラムは、同じデータの違う見せ方だ。

ヒストグラム: 山の形が分かる。ただし $1$ 枚に $1$ 集団しか描けない
箱ひげ図: 形の情報は粗い。しかし細長いので、何十本も横に並べられる

たとえば「 $47$ 都道府県の気温」「 $12$ か月の売上」のように、集団が多いときは箱ひげ図の独壇場になる。目的が「 $1$ つの分布を詳しく見る」なのか「たくさんの分布を比べる」なのかで、道具を選ぶ。

なお、箱ひげ図では山が $2$ つある分布(二峰性という。たとえば得意な人と苦手な人にきれいに分かれたテスト)を見抜けない。五数要約は同じでも、中の形はまるで違いうるからだ。要約は情報を捨てる操作である — 捨てた情報の中に大事なものがないか、元データやヒストグラムに立ち返って確かめる習慣を持ちたい。

答

最小値 $3$ 、 $Q_{1} = 6.5$ 、中央値 $8.5$ 、 $Q_{3} = 12.5$ 、最大値 $16$ 、範囲 $13$ 、四分位範囲 $6$

別解

出た $5$ つの数を箱ひげ図として読む練習をしよう。数値を出して終わりではなく、そこから分布の形を読み取るのが箱ひげ図の目的だ。

まず、区間ごとに何人いるか数える。 $Q_{1} = 6.5$ 、中央値 $= 8.5$ 、 $Q_{3} = 12.5$ で区切ると

$3, 5, 6$ → 下ひげの区間( $3$ 人)
$7, 8, 8$ → 箱の左半分( $3$ 人)
$9, 10, 12$ → 箱の右半分( $3$ 人)
$13, 14, 16$ → 上ひげの区間( $3$ 人)

きれいに $3$ 人ずつ、 $4$ 等分されている。これが四分位数の意味だ。箱の中(= $Q_{1}$ から $Q_{3}$ )には、全体のちょうど半分(この場合 $6$ 人)が入る。

次に、長さを比べる。

下ひげ: $6.5 - 3 = 3.5$ 、上ひげ: $16 - 12.5 = 3.5$ → 左右同じ長さ
箱の左半分: $8.5 - 6.5 = 2$ 、箱の右半分: $12.5 - 8.5 = 4$ → 右が $2$ 倍広い

ここから何が読めるか。 箱の右半分が広いということは、上位 $25%$ の手前の人たち( $8.5$ 〜 $12.5$ 時間の層)が広く散らばっているということ。逆に $6.5$ 〜 $8.5$ 時間の層は密集している(実際 $7, 8, 8$ と団子になっている)。

同じ人数でも、区間が広いほど「まばら」、狭いほど「密集」 — 箱ひげ図は、この密度の違いを長さで見せてくれる。ヒストグラムのように山の形をそのまま描くわけではないが、 $5$ つの数だけで分布の偏りが読めるのが強みだ。だから複数の集団(A組とB組、去年と今年)を並べて比べるときに重宝する。

読み方の要点をまとめる。

箱の幅( $Q_{3} - Q_{1}$ )= まん中 $50%$ の散らばり
箱の中の中央値の位置が左右どちらに寄っているか = 分布の偏り
ひげの長さ= 端のほうの散らばり

ポイント

箱ひげ図は五数要約(最小値・ $Q_{1}$ ・中央値・ $Q_{3}$ ・最大値)で決まる
箱の長さが四分位範囲、ひげ全体の幅が範囲に対応する
偶数個のデータは前半・後半にきっちり半分ずつ分ける

よくある間違い

箱の端を最小値・最大値と混同する(箱の端は $Q_{1}$ と $Q_{3}$ )
中央値の計算で6番目の値だけを取ってしまう
偶数個なのに中央値を「除いて」下組・上組を作る(除くのは奇数個のときだけ。ここでは6個ずつに分ける)