分散・標準偏差の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分散には2つの計算法がある。定義(偏差の2乗の平均)と、公式($\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$)だ。

この問題は、同じデータで両方を実行して、一致を自分の手で確かめる。公式は定義を変形しただけだから、一致は当然。でも手を動かした一致は、公式への信頼になる。

使い分けの目安も掴んでおく。平均が整数できれいなら定義式。平均が半端な小数なら、偏差が汚くなるので公式が有利だ。

(1)

$$\bar{x}=\frac{4+6+7+8+10}{5}=\frac{35}{5}=7(\text{分})$$

(2)

方法1: 定義(偏差の2乗の平均)。 偏差は順に $-3,-1,0,1,3$(和は $0$。検算OK)で、その2乗は $9,1,0,1,9$ だ。

$$s^2=\frac{9+1+0+1+9}{5}=\frac{20}{5}=4$$

方法2: 公式($\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$)。 偏差を経由せず、元のデータを直接2乗して平均する。

$$\overline{x^2}=\frac{4^2+6^2+7^2+8^2+10^2}{5}=\frac{16+36+49+64+100}{5}=\frac{265}{5}=53$$

$$s^2=53-7^2=53-49=4$$

確かに両方とも分散は $4$ で一致する。標準偏差は

$$s=\sqrt{4}=2(\text{分})$$

まとめ:今回は平均が $7$ ときれいなので、どちらの方法でも手間は大差ない。でも平均がたとえば $6.4$ のような値になると、定義式では偏差 $-2.4,-0.4,\dots$ の2乗という小数計算地獄になる。そのとき公式が真価を発揮する。両方を使える状態にしておき、データを見て有利なほうを選ぶこと。

発展 — 一歩先へ。 公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を移項すると $\overline{x^2}=(\bar{x}{)}^2+s^2$。「2乗の平均は、平均の2乗より必ず大きい(散らばりの分だけ)」という不等式が読み取れる。

この関係は、数学Bの統計的な推測や、入試の証明問題(2乗の平均と平均の2乗の大小)でそのまま主役になる。公式を「計算の道具」と「不等式の事実」の両面で持っておきたい。

別解

第3の見方として、「データを平行移動してから計算する」手もある。

分散は散らばりの量で、全員に同じ数を足し引きしても変わらない。そこで全データから $7$ を引くと、$-3,-1,0,1,3$。

この小さい数の世界で分散を計算すると

$$\frac{(-3{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+3^2}{5}=\frac{9+1+0+1+9}{5}=4$$

移動しても分散は不変だから、これが元のデータの分散でもある。

引く数を平均ちょうどにすれば偏差の計算そのものだが、平均が半端なときは「キリのいい近くの数」を引くだけでも計算が軽くなる。分散が「位置」でなく「散らばり」だけを測っている、という性質の実用化だ。