数学I / データの分析

相関係数の計算と変換後の不変性

★★★ 応用相関係数共分散変量の変換

問題

5日間の最高気温 $x$ ( $^{\circ} C$ )とある飲料の売上数 $y$ (本)のデータは次の通りであった。

$(x, y) = (1, 5), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 7)$

(1) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

(2) 気温を華氏に近い形 $u = 2 x + 30$ に、売上を $v = y + 3$ に変換したとき、 $u$ と $v$ の相関係数を求めよ。

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(1)は偏差の表で淡々と。急所は(2) — 変換後の相関を『再計算せず』性質で答える。 $u = 2 x + 30$ で偏差は何倍? 共分散と標準偏差の積が同じ倍率で動けば、割り算の結果は変わらない。なぜかを言葉に。

解答・解説

方針

(1)は偏差の表を作って共分散・標準偏差 → 相関係数、という標準の計算だ。ヤマは(2)。 $u = 2 x + 30$ 、 $v = y + 3$ と変換した後の相関係数を、再計算せずに性質から答える。

偏差で考えれば、 $u$ の偏差は $x$ の偏差の $2$ 倍、 $v$ の偏差は $y$ の偏差のまま。すると共分散は $2$ 倍、標準偏差の積も $2$ 倍。割り算で打ち消されて $r$ は変わらない。

『計算し直せば求まる』で終わらせず、なぜ変わらないかを一般論として言えるかが試されている。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1) は偏差の表を作れば淡々と進む。急所は (2) だ。

変換したあとの相関係数を、再計算せずに性質で答えたい。

$u = 2 x + 30$ は、偏差を $2$ 倍するだけの変換だ。すると分子の共分散にも、分母の標準偏差の積にも、同じ $2$ が現れる。約分されて相関係数は変わらない。

「相関係数は正の $1$ 次変換で不変」。この結論を偏差の追跡で自分の手で導けるかが主題だ。

公式相関係数

r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}

。正の1次変換では

r

は不変

(1) 平均値は

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = 5, \overset{y}{ˉ} = \frac{5 + 4 + 6 + 8 + 7}{5} = 6$

偏差を表の形で整理する(それぞれ和が $0$ になることを確認しながら)。

$x$ の偏差: $- 4, - 2, 0, 2, 4$ → 2乗和 $40$
$y$ の偏差: $- 1, - 2, 0, 2, 1$ → 2乗和 $10$
偏差の積: $4, 4, 0, 4, 4$ → 和 $16$

よって

$s_{x}^{2} = \frac{40}{5} = 8, s_{y}^{2} = \frac{10}{5} = 2, s_{x y} = \frac{16}{5} = 3.2$

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{3.2}{8 2} = \frac{3.2}{4} = 0.8$

最高気温 x と売上数 y の散布図(r = 0.8)

(2) 再計算はいらない。偏差がどう変わるかだけ追えばいい。 $u = 2 x + 30$ では $u$ の偏差が $x$ の偏差の $2$ 倍( $+ 30$ は平均ごと動くので偏差に残らない)、 $v = y + 3$ では $v$ の偏差は $y$ の偏差と同じだ。よって

$s_{uv} = 2 \times 1 \times s_{x y} = 6.4, s_{u} = 2 s_{x}, s_{v} = s_{y}$

$r_{uv} = \frac{2 s _{x y}}{2 s _{x} \times s _{y}} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = 0.8$

分子と分母の $2$ が約分され、相関係数は変わらない。

振り返り。 相関係数が割り算(共分散 ÷ 標準偏差の積)で定義されている理由が、この問題で腑に落ちる。共分散単体は単位に振り回される( $2$ 倍すれば $2$ 倍になる)が、同じ倍率が分母にも現れるように作られているから、 $r$ は単位の取り方によらない純粋な『関係の強さ』になる。気温を摂氏で測っても華氏で測っても『気温と売上の関係の強さ』は同じ。数式の性質と日常の直感が一致する好例だ。

発展 — 一歩先へ。 相関係数には、きれいな図形的な意味がある。 $x$ の偏差を並べたもの $(x_{1} - \overset{x}{ˉ}, x_{2} - \overset{x}{ˉ}, \dots)$ と、 $y$ の偏差を並べたもの $(y_{1} - \overset{y}{ˉ}, \dots)$ を、それぞれ $1$ 本の「ベクトル」とみなす。すると相関係数は、この $2$ 本のベクトルのなす角 $θ$ の余弦 $cos θ$ にちょうど等しい。

この見方だと、性質がひと目で読める。余弦は必ず $- 1$ から $1$ の間だから、相関係数も $- 1 \leq r \leq 1$ に収まる。 $r = \pm 1$ は $2$ 本のベクトルの向きがそろう(または真逆になる)ときで、これは点が完全に $1$ 直線に並ぶ関係にあたる。

単位を取り替えても相関が変わらないことも、角度で見ると当たり前だ。ベクトルの長さを何倍に伸び縮みさせても、向き(なす角)は変わらない。共分散はベクトルの長さに引きずられるが、 $cos θ$ は向きだけで決まるので、尺度の取り方によらない。

答

(1) $r = 0.8$ (2) $0.8$ (変わらない)

別解

別解 — 偏差の表を作らず合計だけで出す(得意な人向けの時短ルート)。 偏差を $1$ つずつ書かなくても、 $5$ つの合計から相関係数は出せる。

必要なのは $\sum x$ 、 $\sum y$ 、 $\sum x y$ 、 $\sum x^{2}$ 、 $\sum y^{2}$ の $5$ つ。

$\sum x = 25, \sum y = 30, \sum x y = 166, \sum x^{2} = 165, \sum y^{2} = 190.$

これらから、平均を引いた「補正済みの和」を作る( $n = 5$ )。

$S_{x y} = \sum x y - \frac{( \sum x ) ( \sum y )}{n} = 166 - \frac{25 \cdot 30}{5} = 16,$

$S_{xx} = \sum x^{2} - \frac{( \sum x ) ^{2}}{n} = 165 - 125 = 40, S_{y y} = 190 - 180 = 10.$

よって

$r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}} = \frac{16}{40 \cdot 10} = \frac{16}{20} = 0.8.$

偏差の表を作る本解と同じ $0.8$ だが、生の値の合計だけで済むので、データが多いときや電卓計算のときに速い。この形なら (2) の不変性も、各合計が変換で規則的に動くことから同じように追える。

ポイント

偏差の表で $s_{x}^{2}, s_{y}^{2}, s_{x y}$ をまとめて計算する
正の1次変換では相関係数は不変 — 分子・分母が同じ倍率になるため
相関係数の不変性は「単位に依存しない関係の強さの指標」であることの表れ

よくある間違い

(2) を最初から計算し直し、性質を使えば不要な手間に時間を費やす。
「 $2$ 倍したから相関が強まる」と考え、 $r$ を $0.8$ から動かしてしまう。
共分散の分母を標準偏差の積でなく分散の積 $s_{x}^{2} s_{y}^{2}$ にして、 $r$ の値を誤る。