度数分布表からの平均と分散

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 度数分布表では、各階級値を「度数の重み」で計算する。まず総度数 $N=1+3+4+2=10$。

平均は $\frac{\sum (\text{階級値}\times \text{度数})}{N}$。$\frac{2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 4+8\cdot 2}{10}=\frac{54}{10}=5.4$。

分散は「$2$ 乗の平均 $-$ 平均${}^2$」。$2$ 乗の平均も度数で重みづけ。$\frac{\sum ({\text{階級値}}^2\times \text{度数})}{N}-5.4^2$ を計算する。

① 総度数と平均。 総度数 $N=1+3+4+2=10$。

$$\bar{x}=\frac{2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 4+8\cdot 2}{10}=\frac{2+12+24+16}{10}=\frac{54}{10}=5.4$$

② $2$ 乗の平均。

$$\frac{\sum x^{2}f}{N}=\frac{2^2\cdot 1+4^2\cdot 3+6^2\cdot 4+8^2\cdot 2}{10}=\frac{4+48+144+128}{10}=\frac{324}{10}=32.4$$

③ 分散と標準偏差。

$$\text{分散}=32.4-5.4^2=32.4-29.16=3.24,\text{標準偏差}=\sqrt{3.24}=1.8$$

まとめ:度数分布表は「階級値 × 度数」で重みづけして合計するのが基本。分散は「$2$ 乗の平均 $-$ 平均${}^2$」の公式が、度数つきでもそのまま使える。$\sum xf$ と $\sum x^{2}f$ の $2$ つの表を作ると計算が整理される。

発展 — 一歩先へ。 仮平均(別解)を使う計算は、「原点をずらしても分散は不変・平均は同じだけずれる」という$1$次式変換の性質そのもの。さらに階級の幅が一定なら「$d=\frac{\text{階級値}-\text{仮平均}}{\text{幅}}$」と幅でも割ると、$d$ が整数になり計算がもっと楽になる(度数分布の平均・分散の高速計算法)。

別解

別解 — 仮平均を使って計算を軽くする(得意な人向けの時短ルート)。 階級値の真ん中あたり $6$ を「仮平均」にとり、そこからの差 $d=(\text{階級値})-6$ で計算する。$d$ は $-4,-2,0,2$ と小さい数になる。

$$\bar{d}=\frac{(-4)\cdot 1+(-2)\cdot 3+0\cdot 4+2\cdot 2}{10}=\frac{-4-6+0+4}{10}=\frac{-6}{10}=-\mathrm{0.6.}$$

真の平均は $\bar{x}=6+\bar{d}=6-0.6=5.4$。

分散は仮平均をずらしても変わらない($1$ 次式変換で $q$ は分散に影響しない)。$d$ の分散を計算すると

$$\frac{16\cdot 1+4\cdot 3+0\cdot 4+4\cdot 2}{10}-(-0.6{)}^2=\frac{16+12+0+8}{10}-0.36=3.6-0.36=\mathrm{3.24.}$$

標準偏差は $\sqrt{3.24}=1.8$。

階級値をそのまま使う本解より、仮平均 $6$ を引くと数が小さくなり、$2$ 乗の計算が楽。「分散は原点をずらしても不変」という$1$次式変換の性質を使った、計算量を減らす王道テクニックだ。