変量の変換(1次式)と標準化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 1次式の変換 $y=ax+b$ では、平均はそのまま変換され($\bar{y}=a\bar{x}+b$)、散らばりは $|a|$ 倍だけ効く($s_y=|a|s_x$。$b$ は足しても散らばりに影響しない)。

(2)の $u=\frac{x-36}{4}$ も、展開すれば $u=\frac{1}{4}x-9$ というただの1次式だ。同じ公式で処理できる。

結果は平均 $0$、標準偏差 $1$。この「平均を引いて標準偏差で割る」変換には標準化という名前が付いている。

(1) $y=5x+10$ は $a=5$、$b=10$ の1次式変換なので

$$\bar{y}=5\bar{x}+10=5\times 36+10=190$$

$$s_y=|5|\times s_x=5\times 4=20,s_y^2=20^2=400$$

分散は $|a|$ 倍ではなく $a^2$ 倍($400=5^2\times 16$)だ。標準偏差と分散のどちらを聞かれているかを見落とさないこと。

(2) 分数の形のままだと公式が使いにくいので、まず展開する。$u=\frac{x-36}{4}=\frac{1}{4}x-9$ なので、$a=\frac{1}{4}$、$b=-9$ だ。

$$\bar{u}=\frac{1}{4}\times 36-9=9-9=0$$

$$s_u=\left|\frac{1}{4}\right|\times 4=1$$

よって $u$ の平均値は $0$、標準偏差は $1$ だ。

まとめ:結果が $0$ と $1$ という『きれいすぎる値』になったのは偶然ではない。引いた $36$ がちょうど平均、割った $4$ がちょうど標準偏差だからだ。この変換(平均を引いて標準偏差で割る)を標準化という。データの単位や水準のちがいを消して共通のものさしに乗せる操作で、模試の偏差値は標準化した値を『$10$ 倍して $50$ を足した』もの($u$ に対して $10u+50$)にすぎない。数学Bの『統計的な推測』でも中心的な役割を果たす、先につながる操作だ。

発展 — 一歩先へ。 標準化は「単位や満点の違うもの同士を比べる」ための共通の物差しだ。数学 $80$ 点と英語 $70$ 点、どちらが相対的に良いかは、標準化した値(平均から標準偏差いくつ分か)で初めて比べられる。

数学Bの統計的な推測では、正規分布をこの標準化で「標準正規分布」に統一し、1枚の数表であらゆる場合を処理する。今日の変換はその心臓部の予行演習である。

別解

(2)は計算の前に、変換の「意味」から結果を予言できる。

$u=\frac{x-36}{4}$ は、目盛りの張り替えだ。まず $36$(平均)を引く。これで平均の位置が原点 $0$ に来る。次に $4$(標準偏差)で割る。これで標準偏差が $1$ 目盛りになる。

つまり $u$ は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表す数だ。平均 $0$・標準偏差 $1$ になるのは、そういう物差しを作ったのだから当然である。

身近な応用が偏差値だ。偏差値は $50+10u$、つまり標準化した値を「平均 $50$・標準偏差 $10$」の物差しに乗せ替えたもの。テストの偏差値 $60$ は「平均より標準偏差1つ分上」という意味だと、この変換から読める。