変量の変換と平均・分散

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 全員の得点を同じように動かすと、平均と散らばりはどうなるか。絵で考えるのが速い。

データを数直線上の点の集まりだと思おう。

(1) 全員に $5$ 点足す → 点の集まりがまるごと右に $5$ 平行移動する。集団の位置は動くが、点どうしの間隔は変わらない。だから平均は $+5$、散らばり(標準偏差)はそのまま。

(2) 全員を $2$ 倍する → 点の間隔がすべて $2$ 倍に引き伸ばされる。平均も $2$ 倍、散らばりも $2$ 倍。

(3) $y=-x+100$ → 符号がマイナスなので左右反転し、$100$ 平行移動。反転しても散らばりの大きさは変わらない(標準偏差は負にならない)。

$$\overline{ax+b}=a\bar{x}+b,(y\text{の標準偏差})=|a|\times (x\text{の標準偏差})$$

絶対値がカギである。

変換 $y=ax+b$ に対して

$$\bar{y}=a\bar{x}+b,s_y=|a|s_x$$

が成り立つ。これを各場合にあてはめる。

(1) 全員に $5$ 点加える。$a=1$、$b=5$ なので

$$\bar{y}=60+5=65(\text{点}),s_y=|1|\times 10=10(\text{点})$$

平均は $5$ 点動くが、標準偏差は変わらない。全員が一斉に $5$ 点ずつ上がっても、点数の差のつき方は元のままだからだ。

(2) 全員の点数を $2$ 倍する。$a=2$、$b=0$ なので

$$\bar{y}=2\times 60=120(\text{点}),s_y=|2|\times 10=20(\text{点})$$

今度は散らばりも $2$ 倍される。差が $10$ 点だった2人は、$2$ 倍後には $20$ 点差になる。平行移動とちがって、拡大はデータの間隔を実際に引き伸ばす。

(3) $a=-1$、$b=100$ なので

$$\bar{y}=-60+100=40(\text{点}),s_y=|-1|\times 10=10(\text{点})$$

まとめ:『$s_y=-10$』と書きたくなったら手を止めること。標準偏差は散らばりの大きさで、必ず $0$ 以上だ。データの並び順が反転しても、散らばりの幅そのものは変わらない。だから $a$ には絶対値がつく。

発展 — 一歩先へ。 平均と標準偏差の反応の違いは、「位置」と「形」という役割の違いから来ている。

• 平均は集団の位置を表す → 平行移動($+b$)で動き、拡大($\times a$)でも動く
• 標準偏差は集団の形(広がり)を表す → 平行移動では動かない、拡大でのみ動く

平行移動で変わらない量を、数学では不変量という。標準偏差は「平行移動不変」な量なのだ。

不変量に着目する見方は、数学のあちこちに顔を出す。図形の合同変換で長さと角が不変であること、複素数の絶対値が回転で不変であること — 「何が変わり、何が変わらないか」を見抜くことが、構造を理解するということである。統計の変量変換は、その入門編にあたる。

ちなみに相関係数(次に学ぶ)は、$x$ と $y$ をどちらもどう変換しても($a>0$ なら)変わらない。標準偏差よりさらに強い不変性を持っている — だから単位の違う量どうしの関係を測る物差しとして使えるのだ。

別解

公式を信じきれないときは、条件に合う小さなデータを自分で作って実験するのがいちばんだ。$4$ 人ぶんで足りる。

平均 $60$、標準偏差 $10$ になるデータを用意する。 たとえば

$$50,50,70,70$$

平均は $60$ ✓。偏差は $-10,-10,10,10$ で、$2$ 乗の平均は $\frac{100\times 4}{4}=100$、標準偏差は $\sqrt{100}=10$ ✓。条件どおりだ。

(1) 全員に $5$ を足す: $55,55,75,75$。平均は $65$。偏差は $-10,-10,10,10$ でさっきと同じ → 標準偏差は $10$ のまま。

「偏差が変わらない」がすべてだ。全員が同じだけ動けば、平均も同じだけ動く。だから「各データ $-$ 平均」の値は動かない。散らばりが変わらないのは当然なのである。

(2) 全員を $2$ 倍: $100,100,140,140$。平均は $120$。偏差は $-20,-20,20,20$ → 標準偏差は $20$。偏差も $2$ 倍になっている。

(3) $y=-x+100$: $50,50,30,30$。平均は $40$。偏差は $10,10,-10,-10$ → $2$ 乗すればどれも $100$ で、標準偏差は $10$。符号は反転しても $2$ 乗で消える — これが $|a|$ の正体だ。

$4$ 人ぶんの実験で、$3$ つの答えがすべて確認できた。公式に不安があるときは、小さな例で試す — 数学のあらゆる場面で使える護身術である。

この変換公式のいちばんの使い道も見ておこう。$a=\frac{1}{10}$、$b=-6$ ととると

$$z=\frac{x-60}{10}$$

この $z$ の平均は $\frac{60-60}{10}=0$、標準偏差は $\frac{1}{10}\times 10=1$。どんなデータも「平均 $0$・標準偏差 $1$」に作り変えられる — これを標準化という。

標準化すれば、$100$ 点満点の数学と $200$ 点満点の英語のような単位も規模も違うデータを、同じ土俵で比べられる。偏差値 $=50+10z$ は、この $z$ を見やすく化粧した値だ($z=1$、つまり平均より標準偏差 $1$ つぶん上なら偏差値 $60$)。変量の変換は、比較のための言語をそろえる技術なのである。