データの追加と平均値・中央値の変化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$1$ 人加わったら平均はどうなるか」— 合計に戻して考えるのが原則だ。

平均 $70$ 点で $5$ 人なら、合計は $70\times 5=350$ 点。ここに $76$ 点が加われば、合計は $426$ 点で $6$ 人。だから平均は $\frac{426}{6}$。

平均どうしを平均してはいけない($\frac{70+76}{2}=73$ は誤り)。人数の重みが違うからだ。$5$ 人の $70$ 点と $1$ 人の $76$ 点では、$70$ のほうが $5$ 倍重い。

中央値のほうは並べ直して数えるだけ。$6$ 人(偶数)なので、まん中 $2$ つの平均になる。平均は合計に戻る、中央値は並べる — 反応の仕方が根本的に違う。

(1) もとの $5$ 人の得点の総和は、平均の定義を逆向きに使って

$$70\times 5=350(\text{点})$$

と復元できる。$76$ 点の生徒が加わると、総和は $350+76=426$ 点、人数は $6$ 人になるので

$$\text{平均値}=\frac{426}{6}=71(\text{点})$$

ありがちな誤りは $\frac{70+76}{2}=73$ とする計算だ。これは『5人分の重み』を無視して、平均と1人の点数を対等にあつかってしまっている。平均どうし、平均と個々の値を混ぜるときは、必ず総和に戻ってから計算する。

(2) $6$ 人の得点を小さい順に並べると

$$62,68,70,73,76,77$$

$6$ 個(偶数個)なので、中央値は $3$ 番目と $4$ 番目の平均だ。

$$\text{中央値}=\frac{70+73}{2}=71.5(\text{点})$$

(平均値の変化を直感で確かめる。加わった $76$ 点はもとの平均 $70$ 点より高い。だから平均は上がるはずで、実際 $70\to 71$ と上がっている。『平均より高い値が加わると平均は上がる』。計算前にこの見通しを立てておくと、大きな計算ミスに自分で気づける。)

発展 — 一歩先へ。 「元の平均 $+$ はみ出し $÷$ 新人数」という式は、データが $1$ 個ずつ増えていく状況で平均を更新し続けるのに使える。

$$m_{n+1}=m_n+\frac{a_{n+1}-m_n}{n+1}$$

これは立派な漸化式だ(数Bで学ぶ)。過去の全データを覚えておかなくても、今の平均と個数さえ持っていれば、新しい値が来るたびに平均を更新できる — メモリを食わない賢い計算法である。

センサーの計測値をリアルタイムで平均する装置、動画の視聴数から平均評価を更新するサービス — こうした「流れてくるデータ」の処理では、この逐次更新の式が実際に使われている。$\frac{a-m}{n+1}$ という補正項の形は、機械学習の学習則(誤差に比例して少しずつ修正する)ともそっくりだ。

教科書の小さな計算が、そのまま現代の技術につながっている。

別解

「平均からどれだけ離れているか」だけで、新しい平均が暗算できる。 大きな合計を出さずに済むやり方だ。

加わる生徒は $76$ 点。今の平均 $70$ 点より $6$ 点高い。

この「余分な $6$ 点」を、$6$ 人で山分けすると考える。

$$\frac{6}{6}=1⟹(\text{新しい平均})=70+1=71(\text{点})$$

合計 $426$ を $6$ で割った答えと一致した。

なぜこれでよいのか。 一般に、$n$ 人の平均が $m$ のところへ値 $a$ の $1$ 人が加わると

$$(\text{新しい平均})=\frac{nm+a}{n+1}=\frac{(n+1)m+(a-m)}{n+1}=m+\frac{a-m}{n+1}$$

元の平均 $+$ (はみ出したぶん)$÷$(新しい人数)、という形になる。はみ出しを全員でならす、という直感がそのまま式になっている。

この見方だと、変化の大きさも一目で分かる。 人数 $n$ が大きいほど分母が大きくなり、$1$ 人が加わっても平均はほとんど動かない。$1000$ 人の平均に $1$ 人加わっても、動くのは $\frac{a-m}{1001}$ — ほぼゼロだ。大きな集団の平均は、なかなか動かない。

中央値のほうは、もっと鈍い。 加わる生徒が $76$ 点でも、$80$ 点でも、$100$ 点でも、極端に $1000$ 点でも、$6$ 人の中央値はすべて $71.5$ 点である。$73$ 点以上ならどれも「上位 $3$ 人」の一員になるだけで、まん中の $2$ 人($70$ と $73$)は変わらないからだ。

一方、平均は $100$ 点が加われば $\frac{450}{6}=75$ 点へ跳ね上がる。

同じ $1$ 人の追加が、平均には効き、中央値には効かない。 「平均点が上がった」というニュースを聞いたら、それが全体の底上げなのか、一部の突出なのかを疑う — 代表値の性格を知っているからこそできる読み方である。