相関の正負の読み取り

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相関の正負は、散布図に点を打ったらどう並ぶかを頭の中で想像すれば決まる。

• 右上がりに並ぶ(一方が増えると他方も増える)→ 正の相関
• 右下がりに並ぶ(一方が増えると他方は減る)→ 負の相関
• 雲のようにばらける(関係がない)→ 相関がない

$1$ つずつ、極端な場合を想像するのがコツだ。「めちゃくちゃ暑い日」のアイスの売上は? 「富士山頂」の気温は? 「背が高い生徒」の数学の点は?

最後のものだけ、答えが出てこないはずである。背が高くても低くても、数学ができる人もできない人もいる — それが「相関がない」ということだ。

(1) 正の相関

気温が高い日ほどアイスクリームはよく売れる傾向がある。散布図をかくと点が右上がりに分布すると考えられるので、正の相関がある。

(2) 負の相関

標高が $100\mathrm{m}$ 上がるごとに気温はおよそ $0.6^{\circ }\mathrm{C}$ 下がることが知られている。標高が高いほど気温は低くなる傾向があるので、散布図は右下がりになり、負の相関がある。

(3) 相関がない(ほとんどない)

身長が高いからといって数学の得点が高い(低い)という傾向は考えにくい。散布図をかいても点は全体に散らばり、右上がり・右下がりのどちらの傾向も見られないと考えられるので、相関はほとんどない。

まとめ:注意を2つ。第一に、相関は『傾向』の話であり、例外があっても相関を否定しない。気温が高いのに売れない日が1日あってもよい。第二に、相関は因果ではない。2つの量が連動して見えても、一方が他方の原因とは限らない(たとえば『アイスの売上』と『水難事故の件数』には正の相関があるが、アイスが事故を起こすわけではなく、背後に『夏』という共通の要因がある)。データ分析で最も誤用されやすいポイントなので、早いうちに身につけておきたい。

発展 — 一歩先へ。 相関係数の値と「相関の強さ」の対応には、おおよその目安がある。

• $|r|$ が $0.7$ 以上 — 強い相関
• $0.4$ 前後 — 中くらいの相関
• $0.2$ 以下 — ほとんど相関なし

ただしこれは分野によって基準が違う。物理の実験なら $0.99$ でも「合っていない」と言われるし、人間の行動を扱う心理学や経済学では $0.4$ でも「強い発見」になる。数値の意味は文脈で決まる。

もう $1$ つ、こわい落とし穴を紹介しておく。データを切り取る範囲を変えると、相関の符号が逆転することがある(シンプソンのパラドックスという)。全体では正の相関に見えるのに、グループごとに分けると全部が負の相関 — そんな例が現実に起こる(大学の合格率の男女差の有名な例がある)。

データは、集め方・切り取り方しだいで、いくらでも違う顔を見せる。 統計の力は強いが、その力は使い手の誠実さに支えられている — 高校のデータの分析が最後に伝えたいのは、たぶんこのことだ。

別解

相関を読むときに、誰もが引っかかる罠が $2$ つある。この $2$ つを知っているかどうかで、データとの付き合い方が変わる。

罠1: 相関があっても、原因とは限らない。

(1)の「気温とアイスの売上」は、気温が上がるからアイスが売れる — 素直な因果関係だ。しかし世の中には、こんな例がある。

• アイスの売上と水難事故の件数には、強い正の相関がある

アイスを食べると溺れるのか。もちろん違う。どちらも「気温が高い」という第 $3$ の原因から生じているだけだ(暑い → アイスが売れる、暑い → 水辺に行く人が増える)。こういう見かけの相関を疑似相関という。

「相関がある」は「一緒に動く」という事実の記述にすぎない。 「だから一方が他方の原因だ」と言うには、まったく別の根拠がいる。ニュースやグラフを見るとき、「第 $3$ の原因はないか」と一度立ち止まる — これが統計リテラシーの第一歩だ。

罠2: 相関係数が $0$ でも、無関係とは限らない。

相関係数が測るのは「直線的な関係」だけである。たとえば $x$ が $-2,-1,0,1,2$、$y=x^2$(つまり $4,1,0,1,4$)というデータを考えよう。$y$ は $x$ で完全に決まる — これ以上ないほど関係が深い。

ところが相関係数を計算すると、ぴったり $r=0$ になる。左半分は右下がり、右半分は右上がりで、$2$ つが打ち消し合うからだ。

$r=0$ が意味するのは「直線的な関係がない」ことだけ。 U字型・放物線型の関係は、相関係数の目には映らない。だから必ず散布図を描いて、目で形を確かめる — 数値だけを見て「無関係」と結論してはいけない。

まとめると。 相関係数は便利だが、$2$ つのことを言えない。「どちらが原因か」も、「直線以外の関係」も、この $1$ つの数からは読み取れない。数字を出したら、必ず絵に戻る。