最大値の修正が各統計量に与える影響

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最大値 $80$ を $91$ に直すと、何が動くか。

値の計算より先に、$1$ つ観察を置く。$91$ も依然として最大値だから、データの並び順は変わらない。

すると見通しが立つ。順位だけで決まる統計量(中央値・四分位数)は動かない。値そのものを使う統計量(平均・範囲)だけが動く。

統計量を「順位派」と「値派」に分ける。この視点が発想の核だ。

(1) データは $11$ 個で、もう小さい順に並んでいる。

• 平均値: 総和は $30+35+40+45+50+55+60+65+70+75+80=605$ なので $\frac{605}{11}=55$ 点
• 中央値: $6$ 番目の値なので $55$ 点
• $Q_1$: 下組 $30,35,40,45,50$ の中央値で $40$ 点
• $Q_3$: 上組 $60,65,70,75,80$ の中央値で $70$ 点
• 範囲: $80-30=50$ 点

(2) $80\to 91$ と修正しても、$91$ は依然として最大値であり、データの並び順は変わらない。ここがすべての出発点だ。

変わらないもの: 中央値($6$ 番目の値 $55$)、$Q_1$($40$)、$Q_3$(上組は $60,65,70,75,91$ になるが、その中央値は $70$ のまま)。これらは『何番目の値か』だけで決まる統計量なので、端の値がいくつに変わろうと、順位が保たれるかぎり動かない。

変わるもの:

• 平均値: 総和が $605+11=616$ になるので $\frac{616}{11}=56$ 点($1$ 点上がる)。全データを足し込む統計量は、1個の変化を必ず拾う
• 範囲: $91-30=61$ 点($11$ 点広がる)。範囲は最大値そのものを使うので、修正がそのまま反映される

振り返り。 統計量は『順位で決まる派』(中央値・四分位数)と『値の大きさで決まる派』(平均値・範囲・分散)に二分できる。前者は端の値の変化に動じない。この性質を頑健(ロバスト)という。外れ値や入力ミスを含みうる実データの要約に中央値・四分位範囲が好まれるのは、まさにこの頑健さのためだ。外れ値と平均の関係で見た現象と同じ構図を、今回は『どの統計量が・なぜ』まで解像度を上げて確認した。

発展 — 一歩先へ。 中央値や四分位数が「順位だけ」で決まることには、もう一歩先の利点がある。値そのものが正確に分からなくても、順位さえ分かれば計算できるのだ。

たとえば最高点が採点の上限で頭打ちになり、「$80$ 点以上」としか記録されていなくても、中央値・$Q_1$・$Q_3$ はそのまま求まる。順位が動かないからだ。一方、平均や範囲は実際の値がなければ計算できない。アンケートの $5$ 段階評価のように、そもそも間隔に意味のない順序だけのデータでも、中央値は意味をもつが平均は意味をもたない。

「その統計量が何の情報を使っているか」を意識すると、どんなデータにどの代表値が使えるかが見えてくる。順位で足りるのか、値の大きさまで要るのか。この線引きが、実際のデータを要約するときの指針になる。

別解

別解 — 等差数列の対称性で (1) を見抜く(得意な人向けの視点)。 データ $30,35,40,\dots ,80$ は公差 $5$ の等差数列だ。この構造に気づくと、(1) は合計を出さずに読める。

等差数列は中央の項を軸に左右対称。だから平均と中央値は一致し、ともに中央の $6$ 番目の項 $55$。$Q_1$ は下半分の中央の項 $40$、$Q_3$ は上半分の中央の項 $70$。範囲は $80-30=50$。$11$ 個を足す必要がない。

(2) の修正は、この対称性を上端だけで崩す。ここで役立つ見方がある。$1$ つの値を $+11$ 変えると、平均は $\frac{+11}{11}=+1$ だけ動くから $55\to 56$。範囲は最大値がそのまま $+11$ で $50\to 61$。順位が保たれるので、中央値・$Q_1$・$Q_3$ は動かない。合計を組み直さずに、増分だけで修正後が出る。本解と同じ結果だ。