数学I / データの分析

四分位数・四分位範囲と外れ値

★★★★ 難関四分位数四分位範囲外れ値箱ひげ図

問題

次の $11$ 個のデータ(小さい順)がある。

$12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 40$

第 $1$ 四分位数 $Q_{1}$ 、第 $2$ 四分位数 $Q_{2}$ 、第 $3$ 四分位数 $Q_{3}$ 、四分位範囲を求めよ。また、「 $Q_{1} - 1.5 \times (四分位範囲)$ より小さい値、または $Q_{3} + 1.5 \times (四分位範囲)$ より大きい値」を外れ値とするとき、外れ値をすべて求めよ。

ヒントを見る

$11$ 個の中央値は $6$ 番目。それを除いた下半分・上半分それぞれの中央値が $Q_{1}, Q_{3}$ 。四分位範囲 $= Q_{3} - Q_{1}$ 。外れ値の境界 $Q_{1} - 1.5 \times$ (四分位範囲)と $Q_{3} + 1.5 \times$ (四分位範囲)を計算する。

解答・解説

方針

$11$ 個(奇数)なので中央値 $Q_{2}$ は $6$ 番目。中央値を除いた下位 $5$ 個・上位 $5$ 個それぞれの中央値が $Q_{1}, Q_{3}$ 。四分位範囲 $= Q_{3} - Q_{1}$ 。外れ値の境界を計算して、範囲外の値を探す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $11$ 個(奇数)のデータ。中央値 $Q_{2}$ は真ん中、 $6$ 番目の $20$ 。

$Q_{1}, Q_{3}$ は「中央値を除いた下半分・上半分の中央値」。下位 $5$ 個 $12, 14, 15, 16, 18$ の中央値が $Q_{1} = 15$ 、上位 $5$ 個 $21, 23, 24, 26, 40$ の中央値が $Q_{3} = 24$ 。四分位範囲は $Q_{3} - Q_{1} = 9$ 。

外れ値は境界で判定する。 $Q_{3} + 1.5 \times (四分位範囲) = 24 + 13.5 = 37.5$ を超える値を探すと、 $40$ が該当する。

重要外れ値の基準 —

Q_{1} - 1.5 \times (四分位範囲)

より小さい、または

Q_{3} + 1.5 \times (四分位範囲)

より大きい値

① 中央値 $Q_{2}$ 。 $11$ 個の中央は $6$ 番目の値。よって $Q_{2} = 20$ 。

② $Q_{1}$ と $Q_{3}$ 。 中央値を除いた下位 $5$ 個 $12, 14, 15, 16, 18$ の中央値 $Q_{1} = 15$ ( $3$ 番目)。上位 $5$ 個 $21, 23, 24, 26, 40$ の中央値 $Q_{3} = 24$ 。

③ 四分位範囲。

$Q_{3} - Q_{1} = 24 - 15 = 9$

箱ひげ図。箱は Q1=15〜Q3=24(中央値 20)。右端 40 は Q3+1.5×IQR=37.5 を超える外れ値

④ 外れ値。 境界を計算する。

$Q_{1} - 1.5 \times 9 = 15 - 13.5 = 1.5, Q_{3} + 1.5 \times 9 = 24 + 13.5 = 37.5$

$1.5$ より小さい値はない。 $37.5$ より大きい値は $40$ のみ。よって外れ値は $40$ 。

まとめ:奇数個のデータでは中央値を除いて上下に分け、それぞれの中央値が $Q_{1}, Q_{3}$ 。外れ値は「四分位範囲の $1.5$ 倍」を箱の外に足し引きした境界で判定する。 $40$ は $Q_{3} + 1.5 \times$ IQR $= 37.5$ を超えるので外れ値。

発展 — 一歩先へ。 「 $Q_{1} - 1.5 \times$ IQR より小さい / $Q_{3} + 1.5 \times$ IQR より大きい」を外れ値とみなすのは、テューキーが提案した箱ひげ図の標準ルール。 $1.5$ 倍という係数は、正規分布ならおよそ $0.7%$ が外れ値になるよう選ばれている。四分位数は平均・標準偏差と違い、外れ値 $1$ 個( $40$ )に引きずられにくい“頑健な”統計量だ。

答

$Q_{1} = 15, Q_{2} = 20, Q_{3} = 24$ 、四分位範囲 $9$ 。外れ値は $40$

別解

別解 — 箱ひげ図を描いて外れ値を目で見つける(視覚で捉えるルート)。 $Q_{1} = 15, Q_{2} = 20, Q_{3} = 24$ から箱ひげ図を描く。箱は $15$ から $24$ (四分位範囲 $9$ )、中央の仕切りが $20$ 。

外れ値の“ひげの限界”を計算して線を引く。上限は $Q_{3} + 1.5 \times 9 = 24 + 13.5 = 37.5$ 、下限は $Q_{1} - 1.5 \times 9 = 15 - 13.5 = 1.5$ 。

データを箱ひげ図の上に点で置くと、 $12$ から $26$ までは限界 $[1.5, 37.5]$ の内側に収まる。だが $40$ だけが上限 $37.5$ を超えて、ひげの外にぽつんと離れる。これが外れ値だ。

$40$ 以外の値は $12 \sim 26$ とまとまっているのに、 $40$ だけ飛び離れている。数値で境界を計算する本解と同じだが、箱ひげ図にすると「 $40$ が集団から浮いている」ことが一目で分かる。 $1.5 \times$ 四分位範囲という基準は、箱から箱の $1.5$ 倍だけ離れたら“外れ”とみなす、統計の標準的なルールだ。

ポイント

$Q_{2} = 20$ 、下位・上位の中央値で $Q_{1} = 15, Q_{3} = 24$ 、四分位範囲 $9$ 。
外れ値の上限 $Q_{3} + 1.5 \times 9 = 37.5$ を超える $40$ が外れ値。

よくある間違い

$11$ 個(奇数)で $Q_{1}, Q_{3}$ を求めるとき、中央値 $Q_{2}$ を下半分・上半分に含めてしまう(除く)。
四分位範囲を $Q_{3} + Q_{1}$ とする(正しくは $Q_{3} - Q_{1}$ )。
外れ値の境界 $Q_{3} + 1.5 \times (四分位範囲) = 37.5$ の計算を誤る。