データの修正と平均値・分散の変化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 20人分のデータを再計算、と思いきや、個々の得点は与えられていない。あるのは修正前の平均と分散、そして2か所の修正内容だけだ。

ここで発想を変える。平均は総和で決まる。分散は、公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を使えば2乗の総和で決まる。

だから「総和がどれだけ変わったか」「2乗の総和がどれだけ変わったか」。この2つの増減だけを追えば、全データを知らなくても答えが出る。

まず平均値の変化を調べる。 修正による総和の変化は

$$(48-58)+(82-72)=-10+10=0$$

$-10$ 点の修正と $+10$ 点の修正がちょうど打ち消し合い、総和は変わらない。よって平均値は修正後も $60$ 点のままだ。

次に2乗の総和の変化を調べる。 『総和が変わらないなら分散も変わらないのでは?』と思うかもしれないが、そうはいかない。分散が見ているのは値の位置ではなく、平均からの距離だからだ。分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ で考えると、$(\bar{x}{)}^2=3600$ は変わらないので、変化するのは $\overline{x^2}$ だけ。2乗の総和の変化を、和と差の積で計算すると

$$(48^2-58^2)+(82^2-72^2)=(48-58)(48+58)+(82-72)(82+72)$$

$$=(-10)\times 106+10\times 154=-1060+1540=480$$

($48^2=2304$ などとまじめに2乗するより、$(48-58)(48+58)$ のほうが速く正確だ。因数分解の公式は計算の道具でもある。)よって $\overline{x^2}$ は $\frac{480}{20}=24$ だけ増える。

修正後の分散。

$$s_{\text{修正後}}^2=\left(\overline{x^2}+24\right)-(\bar{x}{)}^2=\left(\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2\right)+24=100+24=124$$

$\overline{x^2}$ 自体の値を知らなくても、『元の分散 $+24$』の形に組み替えられるところが公式の威力だ。

結論。 平均値 $60$ 点(変わらず)、分散 $124$。

(直感でも確かめられる。$58\to 48$、$72\to 82$ の修正はどちらも『平均 $60$ から遠ざかる』向きだ。だから散らばりが増えるのは自然で、分散の増加と合っている。)

発展 — 一歩先へ。 今回の修正は「平均から遠い側へ2人を動かした」ので、散らばりが増えて分散が上がった。逆に、平均へ近づける修正なら分散は下がる。数値の増減を、分布の形の変化として言葉にできると理解が締まる。

「集計量(総和・2乗の総和)さえ管理すれば個票は要らない」という考え方は、次の合併の問題や、数学Bの統計でも通用する実務的な発想だ。

別解

平均が変わらないことを先に確かめると、「偏差の付け替え」だけで分散が出る近道が開く。

総和の変化は $(48-58)+(82-72)=-10+10=0$。だから平均は $60$ 点のまま動かない。

平均が動かないなら、各人の偏差の基準も動かない。変わるのは修正された2人の偏差だけだ。

• 1人目: 偏差 $-2$ が $-12$ に。偏差の2乗は $4$ から $144$ へ、$+140$。
• 2人目: 偏差 $+12$ が $+22$ に。偏差の2乗は $144$ から $484$ へ、$+340$。

偏差の2乗の合計は $480$ 増える。人数 $20$ で割って、分散は $100+\frac{480}{20}=124$。

この近道は「平均不変」が前提であることに注意。平均が動く修正なら、全員の偏差が測り直しになるので、本解の2乗の総和ルートが安全だ。