数学I / データの分析

平均値から未知のデータを決定する

★★ 標準代表値分散

問題

6個のデータ

$5, 8, x, 4, 6, 7$

の平均値が $6$ であるとき、次の問いに答えよ。

(1) $x$ の値を求めよ。

(2) このデータの中央値と分散を求めよ。

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未知の $x$ があるが、平均が与えられている — これが方程式になる。平均の定義から、総和はいくつのはず? それと $x$ を含む総和を等しいと置けば $x$ が出る。(2)は $x$ を入れてから、並べ直して中央値・偏差で分散。

解答・解説

データの中に未知の値 $x$ が混ざっているが、平均値が $6$ だとわかっている。この条件が方程式になる。

平均の定義から、総和は $6 \times 6 = 36$ のはずだ。 $x$ を含む総和をこれとイコールで結べば $x$ が決まる。

(2)は $x$ が決まったあとの普通の計算だ。並べ直して中央値、偏差の2乗の平均で分散。『与えられた統計量から逆算して未知データを決める』→『決まったデータで別の統計量を計算する』という2段構えは、この分野の定番だ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 データの中に未知の $x$ が混ざっている。でも平均値が $6$ と分かっている。この条件がそのまま方程式になる。

平均の定義から、総和は $6 \times 6 = 36$ のはず。 $x$ を含む総和をこれと等しいと置けば、 $x$ が決まる。

(2)は $x$ が決まったあとの通常の計算だ。「与えられた統計量から未知データを逆算する」という向きの問題は、定義さえ正確なら怖くない。

公式総和

=

平均値

\times

個数

(1) 平均値が $6$ なので、総和は $6 \times 6 = 36$ でなければならない。

$5 + 8 + x + 4 + 6 + 7 = 30 + x = 36 よって x = 6$

(2) データは $5, 8, 6, 4, 6, 7$ になる。中央値を求めるときは、まず小さい順に並べ直す。この一手間を飛ばすと確実に誤る。

$4, 5, 6, 6, 7, 8$

$6$ 個(偶数個)なので、中央値は $3$ 番目と $4$ 番目の平均で

$中央値 = \frac{6 + 6}{2} = 6$

(たまたま $3$ 番目と $4$ 番目が同じ $6$ なので平均も $6$ 。『同じ値の平均』に戸惑うかもしれないが、ルールどおり計算すればいい。)

分散を求める。平均値 $6$ からの偏差は順に

$- 2, - 1, 0, 0, 1, 2$

(偏差の和は $0$ 。検算OK。)偏差の2乗の和は $4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 = 10$ なので

$分散 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

まとめ:分散は『2乗和 ÷ 個数』だ。ついさっき(1)で総和 $36$ を使ったからといって、ここで $36$ で割ったりしないこと。何で割るかを毎回定義に戻って確認する。

発展 — 一歩先へ。 「統計量からデータを逆算する」問題は、平均だけでなく分散や中央値が条件になる型へ発展する。分散が条件なら2次方程式が、中央値が条件なら場合分けが現れる。どの型でも、出発点は定義を等式に翻訳することだ。

偏差の和が必ず $0$ になる事実は、この先の共分散や相関係数の計算でも、表の検算行としてずっと使える。

答

(1) $x = 6$ (2) 中央値 $6$ 、分散 $\frac{5}{3}$

(1)は「過不足の帳尻」で暗算もできる。

平均が $6$ なら、各データの平均とのずれ(偏差)は、全部足すと必ず $0$ になる。

分かっている5つのずれは $5 \to - 1$ 、 $8 \to + 2$ 、 $4 \to - 2$ 、 $6 \to 0$ 、 $7 \to + 1$ 。合計すると $- 1 + 2 - 2 + 0 + 1 = 0$ 。

すでに帳尻が合っている。だから $x$ のずれは $0$ 、つまり $x = 6$ だ。

「偏差の合計は必ず $0$ 」は、平均の定義を言い換えただけの事実だが、検算にも逆算にも使える万能の1行である。分散の計算前に偏差の合計が $0$ になっているか見る習慣をつけると、ミスの早期発見にもなる。