数学I / データの分析

最高点はどこまで高くなれるか

最難関編最大値の評価コーシー・シュワルツ標準偏差

問題

$n$ 個のデータ $x_{1}, \dots, x_{n}$ ( $n \geq 2$ )の平均値を $\overset{x}{ˉ}$ 、標準偏差を $s$ ( $s > 0$ )、最大値を $M$ とする。

(1) $M - \overset{x}{ˉ} \leq s n - 1$ が成り立つことを示せ。

(2) 5人が受けた小テストで、平均点が $60$ 点、標準偏差が $10$ 点であった。最高点は $80$ 点を超えないことを示し、最高点が $80$ 点になるときの5人の得点を求めよ。

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1人が平均から大きく上に離れたら、残りの人はどうしなければならないか。偏差の和は何か。

残りの人たちが「同じだけ負担する」とき、2乗和はどうなるか。

解答・解説

方針

最大値をとるデータの偏差を $d_{1} = M - \overset{x}{ˉ}$ とする。偏差の総和は $0$ だから、残り $n - 1$ 個の偏差の和は $- d_{1}$ 。これにコーシー・シュワルツを当てると、 $d_{1}$ の2乗が $(n - 1) s^{2}$ 以下に押さえ込まれる。等号は「残り全員が同じ値」のとき。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均と標準偏差だけから、最高点に上限がつく。これは意外に感じるかもしれない。

だが考えてみれば当然だ。 $s$ が小さければ全員が平均の近くにいるはずで、突出した1人はいられない。その感覚を式にすればよい。

鍵は「偏差の和は $0$ 」という事実である。1人が平均から大きく上に離れれば、残り全員でそのぶんを下に埋め合わせなければならない。

そして、埋め合わせを「できるだけ小さい2乗和で」行うには、残り全員が均等に負担するのがいちばん効率がよい。これがコーシー・シュワルツの不等式の内容だ。だから等号は「残り $n - 1$ 人が全員同じ値」のときになる。

$n$ が小さいほど、埋め合わせる人数が少ないぶん上限は厳しくなる。5人なら $4 = 2$ 倍までしか離れられない。

定理コーシー・シュワルツの不等式

(i = 2 \sum n d_{i})^{2} \leq (n - 1) i = 2 \sum n d_{i}^{2}

① (1) 偏差で書く。 最大値をとるデータを $x_{1} = M$ としてよい(番号を付け替えるだけ)。偏差を $d_{i} = x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ とおくと、定義から

$i = 1 \sum n d_{i} = 0, i = 1 \sum n d_{i}^{2} = n s^{2}$

である。第1式より、残り $n - 1$ 個の偏差の和は

$i = 2 \sum n d_{i} = - d_{1} = - (M - \overset{x}{ˉ})$

1人の突出を、残り全員が背負っている形だ。

② コーシー・シュワルツを当てる。 残りの $n - 1$ 個に対して

$(i = 2 \sum n d_{i})^{2} \leq (n - 1) i = 2 \sum n d_{i}^{2}$

左辺は $(M - \overset{x}{ˉ})^{2}$ 、右辺の和は $n s^{2} - d_{1}^{2} = n s^{2} - (M - \overset{x}{ˉ})^{2}$ である。 $D = M - \overset{x}{ˉ}$ と略記すると

$D^{2} \leq (n - 1) (n s^{2} - D^{2})$

③ 整理する。

$D^{2} + (n - 1) D^{2} \leq (n - 1) n s^{2} ⟹ n D^{2} \leq (n - 1) n s^{2}$

両辺を $n$ で割って $D^{2} \leq (n - 1) s^{2}$ 。 $D \geq 0$ だから

$M - \overset{x}{ˉ} \leq s n - 1$

等号はコーシー・シュワルツの等号のとき、すなわち $d_{2} = d_{3} = \dots = d_{n}$ (残り $n - 1$ 人の偏差がすべて等しい)ときである。

④ (2) 数値を入れる。 $n = 5$ 、 $\overset{x}{ˉ} = 60$ 、 $s = 10$ だから

$M \leq 60 + 10 5 - 1 = 60 + 10 \cdot 2 = 80$

よって最高点は $80$ 点を超えない。

等号のときを調べる。最高点が $80$ なら $d_{1} = 20$ 。残り4人の偏差は等しく、その値を $d$ とすると偏差の和が $0$ だから

$20 + 4 d = 0 ⟹ d = - 5$

つまり残り4人は $60 - 5 = 55$ 点である。得点は $80, 55, 55, 55, 55$ 。

検算すると平均は $\frac{80 + 55 \cdot 4}{5} = \frac{300}{5} = 60$ 、分散は $\frac{2 0 ^{2} + ( - 5 ) ^{2} \cdot 4}{5} = \frac{400 + 100}{5} = 100$ で標準偏差 $10$ 。条件を満たしている。

平均 60・標準偏差 10・5人のとき、最高点が上限の 80 になる配置。1人だけが上に飛び出し、残り4人は全員 55 点に集まる。突出のぶん(+20)を4人が 5 点ずつ負担している

まとめ: 「平均・標準偏差・データ数」の3つだけで、最大値の上限が決まる。使う道具は「偏差の和は $0$ 」とコーシー・シュワルツだけ。データ数が少ないほど上限は厳しい。

発展 — 一歩先へ。 この不等式(サミュエルソンの不等式)は、データの整合性チェックに使える。「5人、平均 $60$ 、標準偏差 $10$ 、最高点 $90$ 」という報告があれば、それは必ずどこかが間違っている。 $90 > 80$ だからだ。

チェビシェフの不等式が「平均から $k$ 標準偏差以上離れた値の割合は $\frac{1}{k ^{2}}$ 以下」と割合を抑えるのに対し、こちらは最大値そのものを直接抑える。 $n$ が小さいときは、こちらのほうがはるかに鋭い。 $n = 5$ なら「 $2 s$ より遠くには誰も行けない」と言い切れるが、チェビシェフでは「 $2 s$ より遠い人は $\frac{1}{4}$ 以下」としか言えないのだ。

データ数が少ないほど、1人の突出は他の全員に支えられなければならない — そう思うと、この不等式は当たり前のことを言っているようにも見えてくる。

答

(1) 偏差の和が $0$ であることとコーシー・シュワルツの不等式から (2) $M \leq 60 + 104 = 80$ 。等号のとき残り4人は全員 $55$ 点(得点は $80, 55, 55, 55, 55$ )

別解

判別式で押さえる(得意な人向け)。 コーシー・シュワルツを使わず、2次関数の判別式だけでも同じ結論が出る。

実数 $t$ に対して

$f (t) = i = 2 \sum n (d_{i} - t)^{2}$

とおく。2乗の和だから、どんな $t$ でも $f (t) \geq 0$ である。展開すると

$f (t) = (n - 1) t^{2} - 2 t i = 2 \sum n d_{i} + i = 2 \sum n d_{i}^{2} = (n - 1) t^{2} + 2 d_{1} t + (n s^{2} - d_{1}^{2})$

( $i \geq 2 \sum d_{i} = - d_{1}$ と $i \geq 2 \sum d_{i}^{2} = n s^{2} - d_{1}^{2}$ を使った。)

これは $t$ の2次関数で、 $t^{2}$ の係数 $n - 1$ は正。つねに $0$ 以上なのだから、判別式は $0$ 以下である。

$\frac{D}{4} = d_{1}^{2} - (n - 1) (n s^{2} - d_{1}^{2}) \leq 0$

整理すると $n d_{1}^{2} \leq (n - 1) n s^{2}$ 、すなわち $d_{1}^{2} \leq (n - 1) s^{2}$ 。 $d_{1} = M - \overset{x}{ˉ}$ だから、求める不等式になる。

等号は $f (t) = 0$ となる $t$ が存在するとき、つまり $d_{2} = d_{3} = \dots = d_{n} = t$ のときである。「残り全員が同じ」という等号条件も、この形なら見やすい。

じつはコーシー・シュワルツの不等式の証明そのものが、この判別式である。道具の中身を開けてみると、いつもの2次関数が入っているのだ。定理を暗記していなくても、 $\sum (d_{i} - t)^{2} \geq 0$ から出発すれば自力でたどり着ける。

ポイント

偏差の和が $0$ だから、突出のぶんを残り $n - 1$ 人が背負う。
コーシー・シュワルツで $(M - \overset{x}{ˉ})^{2} \leq (n - 1) (n s^{2} - (M - \overset{x}{ˉ})^{2})$ 。
等号は残り $n - 1$ 人が全員同じ値。 $n = 5$ なら $M \leq \overset{x}{ˉ} + 2 s$ 。

よくある間違い

「標準偏差が $10$ なら、平均から $10$ 以上離れた人はいない」と誤解する。標準偏差は散らばりの平均的な大きさで、個々のデータはもっと離れうる。ただし離れられる限界が $s n - 1$ である。
コーシー・シュワルツを全体( $i = 1$ から $n$ )に適用してしまう。突出した $d_{1}$ を除いた残りに当てるのがポイントである。全体に当てても、当たり前の式しか出ない。
(2)で等号のデータを求めるとき、残り4人を「平均と同じ $60$ 点」としてしまう。それでは偏差の和が $20 + 0 \cdot 4 = 20 \neq = 0$ になる。 $- 5$ ずつ負担して $55$ 点である。