度数分布表から平均値を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 度数分布表になった時点で、個々の生徒の値はもう分からない。「$10$ 分以上 $20$ 分未満に $5$ 人」としか書かれていないからだ。

そこで「その階級の人は、みんな階級のまん中の値だったことにする」と割り切る。これが階級値($0$〜$10$ なら $5$、$10$〜$20$ なら $15$)。

$$(\text{平均})=\frac{(\text{階級値})\times (\text{度数})\text{の合計}}{(\text{度数の合計})}$$

割る数は人数の合計 $20$であって、階級の個数 $4$ ではない。「何人で割るのか」を毎回声に出して確認すると間違えない。

まず階級値を求める。 各階級の階級値(両端の平均)は

$$\frac{0+10}{2}=5,\frac{10+20}{2}=15,\frac{20+30}{2}=25,\frac{30+40}{2}=35(\text{分})$$

(階級値 × 度数)の総和を計算する。 『$5$ 分の人が $3$ 人、$15$ 分の人が $5$ 人、…』と見なして総和をとる。

$$5\times 3+15\times 5+25\times 8+35\times 4=15+75+200+140=430$$

総度数で割る。 総度数は $3+5+8+4=20$ 人なので

$$\text{平均値}=\frac{430}{20}=21.5(\text{分})$$

ありがちなミスは、階級値の合計 $5+15+25+35=80$ を階級の数 $4$ で割ってしまうこと。これは各階級の人数のちがいを無視した計算で、正しくない。人数の多い階級ほど平均への影響が大きい、という感覚を大事にしたい。なお、度数分布表から求めた平均値は階級値で代表させた近似値で、もとのデータそのものの平均値とは少しずれることも頭に置いておく。

発展 — 一歩先へ。 階級値を使う計算は「分布を、階級のまん中に集めた点の集まりで代用する」という近似だ。階級の幅を狭くしていけば近似はよくなる。

この「区間を代表値で置きかえて、幅を掛けて足す」という操作は、実は積分の区分求積法とそっくりである。数IIIで学ぶ

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum f(\text{各区間の代表値})\times (\text{区間の幅})$$

と、度数分布の平均 $\sum (\text{階級値})\times (\text{割合})$ は同じ発想でできている。階級を細かくする $=$ 積分の分割を細かくする。ヒストグラムの棒が、連続的な分布曲線に近づいていく — 高校数学の統計と解析は、この一点でつながっている。

別解

ここでも仮の平均からのズレで計算すると、数がぐっと小さくなる。手計算のときに効くやり方だ。

手順1: 仮の平均を、まん中あたりの階級値にとる。 ここでは $25$ 分としよう。

手順2: 各階級値の、$25$ からのズレを書く。

手順3: ズレ $\times$ 度数の合計を出す。

$$(-20)\times 3+(-10)\times 5+0\times 8+10\times 4=-60-50+0+40=-70$$

手順4: ズレの平均を、仮の平均に足す。

$$(\text{平均})=25+\frac{-70}{20}=25-3.5=21.5(\text{分})$$

同じ答えになった。掛ける数が $2$ 桁で済み、$8$ 人いる階級の計算が $0$ で消えるのが気持ちいい。

この式には見どころがある。 度数 $8$ の階級(いちばん人数が多い)を仮平均に選ぶと、その項が丸ごと $0$ になる。いちばん重い階級を基準に選ぶのがコツだ。

もう一歩進んだ見方をしよう。この平均は

$$21.5=5\times \frac{3}{20}+15\times \frac{5}{20}+25\times \frac{8}{20}+35\times \frac{4}{20}$$

とも書ける。$\frac{3}{20},\frac{5}{20},\frac{8}{20},\frac{4}{20}$ は各階級の割合(足すと $1$)。つまり平均とは「値を、その割合で重みづけして足したもの」— 加重平均だ。この形は、数Bの確率変数の期待値 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ とまったく同じ姿をしている。度数分布の平均は、期待値の練習問題なのである。

注意点も $1$ つ。階級値は「その階級の人はみんなまん中」という近似だから、この $21.5$ 分は真の平均とは少しずれる可能性がある。元データがあるなら、そちらから計算するのが正確だ。