数学I / データの分析

相関係数の計算

★★★★ 難関相関係数共分散散布図

問題

次の $5$ 人の $2$ 科目の得点 $(x, y)$ について、相関係数を求めよ。

$(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 2), (5, 1)$

ヒントを見る

相関係数は「共分散 $\div$ ( $x, y$ 各々の標準偏差の積)」。まず両方の平均を出し、偏差の積の平均(共分散)と、偏差の $2$ 乗の平均(分散)を求める。

解答・解説

方針

相関係数 $= \frac{共分散}{( x の標準偏差 ) \times ( y の標準偏差 )}$ 。それぞれの平均を出し、偏差の積の平均(共分散)と、各偏差の $2$ 乗の平均(分散)を計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相関係数は $r = \frac{共分散}{( x の標準偏差 ) \times ( y の標準偏差 )}$ 。順に部品を計算する。

まず $x, y$ それぞれの平均。 $\overset{x}{ˉ} = 3$ 、 $\overset{y}{ˉ} = 3$ 。

次に偏差( $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ 、 $y_{i} - \overset{y}{ˉ}$ )を出し、偏差の積の平均(共分散)と、各偏差の $2$ 乗の平均(分散)を計算する。 $x$ が増えると $y$ が減る傾向なので、共分散は負。相関係数は $- 0.9$ になる。

公式相関係数

r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}

。共分散

s_{x y} = \overline{(x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ})}

、標準偏差

s_{x} = \overline{(x - \overset{x}{ˉ})^{2}}

① 平均を出す。 $\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ 、 $\overset{y}{ˉ} = \frac{5 + 3 + 4 + 2 + 1}{5} = 3$ 。

② 偏差を並べる。 $x - \overset{x}{ˉ} : - 2, - 1, 0, 1, 2$ 。 $y - \overset{y}{ˉ} : 2, 0, 1, - 1, - 2$ 。

5点の散布図。右下がりに並び、相関係数 r=−0.9(強い負の相関)

③ 共分散と分散。 偏差の積 $(x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}) : - 4, 0, 0, - 1, - 4$ 。その平均が共分散:

$s_{x y} = \frac{- 4 + 0 + 0 - 1 - 4}{5} = \frac{- 9}{5} = - 1.8$

$x$ の分散 $s_{x}^{2} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2$ 、 $y$ も同様に $s_{y}^{2} = 2$ 。

④ 相関係数。

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{- 1.8}{2 \cdot 2} = \frac{- 1.8}{2} = - 0.9$

まとめ:相関係数は「共分散 $\div$ 標準偏差の積」で機械的に出る。 $r = - 0.9$ は $- 1$ に近く、強い負の相関( $x$ が大きいほど $y$ が小さい)を表す。散布図でも右下がりに並ぶ。

発展 — 一歩先へ。 $r = - 0.9$ は強い負の相関(右下がり)。相関係数は必ず $- 1 \leq r \leq 1$ で、 $\pm 1$ に近いほど点が直線に近く並ぶ。ただし「相関」は直線的な関係の強さで、因果関係とは別。 $r$ の $2$ 乗(決定係数)は「 $y$ の散らばりのうち $x$ で説明できる割合」を表し、回帰分析につながる。

答

$r = - 0.9$

別解

別解 — 偏差の表を作って積を数える(苦手な人にも確実なルート)。 $\overset{x}{ˉ} = 3$ 、 $\overset{y}{ˉ} = 3$ を引いた偏差の表を作る。

$x$	$y$	$x - 3$	$y - 3$	積	$(x - 3)^{2}$	$(y - 3)^{2}$
$1$	$5$	$- 2$	$2$	$- 4$	$4$	$4$
$2$	$3$	$- 1$	$0$	$0$	$1$	$0$
$3$	$4$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$4$	$2$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$1$
$5$	$1$	$2$	$- 2$	$- 4$	$4$	$4$

列を合計すると、積の和 $= - 9$ 、 $(x - 3)^{2}$ の和 $= 10$ 、 $(y - 3)^{2}$ の和 $= 10$ 。

$r = \frac{\sum ( x - x ˉ ) ( y - y ˉ )}{\sum ( x - x ˉ ) ^{2} \sum ( y - y ˉ ) ^{2}} = \frac{- 9}{10 10} = \frac{- 9}{10} = - 0.9.$

(共分散・分散を $\div 5$ しても、分子分母で相殺するので和のままでよい。)公式に数値を入れる本解と同じだが、偏差の表を作ると計算ミスが激減する。積の列がすべて $\leq 0$ なのは、 $x$ が増えると $y$ が減る右下がりの関係の現れだ。

ポイント

共分散 $s_{x y} = - 1.8$ 、 $s_{x}^{2} = s_{y}^{2} = 2$ 。
$r = \frac{- 1.8}{2} = - 0.9$ (強い負の相関)。

よくある間違い

相関係数の分母を分散でなく標準偏差の積にする(共分散 $\div$ (各標準偏差の積))。
偏差の積の和(共分散)の符号を誤る( $x$ 増で $y$ 減なので負)。
共分散・分散を $\div n$ するかどうかを片方だけにする(分子分母で相殺するので和のままでも可)。