指定した平均・標準偏差になる1次式変換

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均 $8$・標準偏差 $4$ のデータを、平均 $50$・標準偏差 $10$ に作り変えたい。

変換公式を逆向きに使い、$a$、$b$ を未知数とする連立を立てる。

解く順番も設計しておく。標準偏差の式 $s_y=|a|s_x$ には $b$ が出てこないので、先に $a$ が決まる。あとは平均の式に $a$ を入れれば $b$ が決まる。

偏差値の仕組みそのものだ。

(1) 変換 $y=ax+b$ に対して

$$\bar{y}=a\bar{x}+b,s_y=|a|s_x$$

が成り立つ。条件を代入すると

$$8a+b=50,|a|\times 4=10$$

未知数2つの連立だが、第2式には $b$ がいない。散らばりは平行移動 $b$ を感じないからだ。そこで第2式から先に解く。$a>0$ なので $a=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$。第1式に代入して

$$8\times \frac{5}{2}+b=50\text{よって}20+b=50\text{すなわち}b=30$$

$$a=\frac{5}{2},b=30$$

(『まず倍率 $a$ で散らばりを合わせ、あとで $b$ をずらして平均を合わせる』。式の解き順が、そのまま変換の設計手順になっている。)

(2) $y-\bar{y}=a(x-\bar{x})$ なので、$x$ と $y$ の共分散は

$$s_{xy}=\overline{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}=\overline{a(x-\bar{x}{)}^2}=a{s}_x^2$$

よって相関係数は

$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{a{s}_x^2}{s_x\times a{s}_x}=1$$

(数値で確認: $s_{xy}=\frac{5}{2}\times 16=40$、$s_x{s}_y=4\times 10=40$ より $r=1$。)

振り返り。 $r=1$ という結果は偶然ではない。$y$ が $x$ の1次式($a>0$)で完全に決まるとき、散布図の点はすべて1つの右上がり直線に乗る。相関係数が $\pm 1$ になるのは、まさにこの完全な直線関係のときだけだ。逆に言えば、$r$ が $1$ に近いとは『点がほぼ直線に乗っている』ことの数値表現だ。なお本問の変換は偏差値の一般化だ。標準化した値を $10$ 倍して $50$ を足すのが偏差値、$a{s}_x=10$、$a\bar{x}+b=50$ という本問の条件はそれと同じ設計だ。

発展 — 一歩先へ。 なぜ $a$、$b$ が過不足なく $1$ 組に決まったのか。動かせるつまみ($a$、$b$)が $2$ つ、合わせたい条件(平均・標準偏差)も $2$ つ。数がそろっているから、行き先がちょうど一意に定まる。

見方を変えると、$a>0$ の $1$ 次変換で自由にいじれるのは、データの「中心」(平均)と「尺度」(標準偏差)のちょうど $2$ つだけだ。それ以外の「形」、つまり値の相対的な散らばり方や分布の非対称性は、$1$ 次変換では変えられない。全体を一様に伸縮し平行移動するだけだからだ。

だから平均と標準偏差を狙って決めることはできても、形まで好きにはできない。たとえば右にすそを引いた非対称なデータを、$1$ 次変換で左右対称に直すことはできない。指定できるのは中心と尺度の $2$ つ、という自由度の勘定が、その裏にある。

別解

別解 — 標準化変数を経由して一気に組む(得意な人向けの視点)。 連立を立てるかわりに、目標の姿から $y$ を直接組み立てる。

まず $x$ を標準化する。$z=\frac{x-8}{4}$ は平均 $0$・標準偏差 $1$。

求める $y$ は平均 $50$・標準偏差 $10$ にしたい。標準化した $z$ を $10$ 倍して $50$ を足せば、平均 $50$・標準偏差 $10$ になる。つまり

$$y=10z+50=10\cdot \frac{x-8}{4}+50=\frac{5}{2}(x-8)+50=\frac{5}{2}x+30.$$

比べて $a=\frac{5}{2}$、$b=30$。連立を解かずに一発で出た。

しかも (2) の相関係数もこれで見える。$y=10z+50$ は、$z$($=x$ の正の $1$ 次式)の増加する $1$ 次式だから、$x$ と $y$ は完全に連動する。散布図の点は $1$ 本の右上がり直線に乗り、相関係数は $1$。本解と同じ結果だ。