四分位数と四分位範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 四分位数は「データを小さい順に並べて $4$ 等分する境目」だ。

やり方は $2$ 段階でよい。

まず全体のまん中(中央値 $Q_2$)で、データを下組と上組に真っ二つにする。 $9$ 個なら $5$ 番目が中央値。

次に、下組・上組それぞれのまん中をとる。 下組のまん中が $Q_1$、上組のまん中が $Q_3$。

急所は「奇数個のとき、中央値そのものは下組にも上組にも入れない」こと。まん中の $1$ 個を除いて、残りを $4$ 個ずつに分ける。ここを間違えると全部ずれる。

データはもう小さい順に並んでいる($9$ 個)。

第2四分位数(中央値)。 $9$ 個のまん中は $5$ 番目の値なので

$$Q_2=55(\text{点})$$

第1四分位数。 データが奇数個なので、中央値 $55$ 自身は下組にも上組にも入れない。ここが最初のつまずきポイントだ。中央値を除いた下半分は $42,45,50,53$ の $4$ 個。その中央値($4$ 個なので $2$ 番目と $3$ 番目の平均)は

$$Q_1=\frac{45+50}{2}=47.5(\text{点})$$

第3四分位数。 上半分は $58,62,65,70$ の $4$ 個。その中央値は

$$Q_3=\frac{62+65}{2}=63.5(\text{点})$$

四分位範囲。

$$Q_3-Q_1=63.5-47.5=16(\text{点})$$

四分位範囲は『まん中あたりの、およそ半数のデータが収まる幅』だ。端の値をばっさり切り捨てて測るので、1つだけ極端な値があっても影響を受けにくい。範囲(最大 − 最小)が外れ値ひとつで激変するのと対照的だ。

発展 — 一歩先へ。 「下から $p\%$ の位置の値」をパーセンタイルという。$Q_1$ は第 $25$ パーセンタイル、中央値は第 $50$ パーセンタイル、$Q_3$ は第 $75$ パーセンタイルだ。

健康診断でもらう成長曲線のグラフ(身長の第 $3$・第 $50$・第 $97$ パーセンタイルの線が引いてある)や、模試の成績表は、まさにこの考え方でできている。「平均より上か下か」より「全体の何%の位置にいるか」のほうが、順位の実感に近い。

なお四分位数の定め方は流儀がいくつかある(データが $4$ で割り切れないときの補間の仕方が違う)。高校で学ぶのは「中央値で $2$ 分し、それぞれの中央値をとる」方式だが、統計ソフトによっては少し違う値を返すことがある。定義が一意でない量がある — これも統計を扱うときの大事な注意点だ。

別解

四分位数が何のためにあるのかを、平均・標準偏差と比べて見ておこう。ここが分かると、この量を「ただの計算」でなく「道具」として使えるようになる。

四分位数は順位だけで決まる。 $Q_1$ は「下から $25\%$ の位置」、$Q_3$ は「下から $75\%$ の位置」。値の大きさそのものではなく、並べたときの順番しか見ていない。

この性質がどれほど強力か、実験してみる。最高点の生徒が $70$ 点ではなく、$700$ 点(記録ミス)だったとしよう。

• $Q_1=47.5$、$Q_2=55$、$Q_3=63.5$ → まったく変わらない。$700$ は「いちばん上の人」のままで、順位が変わらないからだ
• 一方、平均は $55.6$ 点から $125.6$ 点へ跳ね上がる。誰もとっていない点数が「平均」になってしまう

四分位範囲($Q_3-Q_1=16$ 点)も同じく不動である。これは「まん中 $50\%$ の人たちが、どれくらいの幅に散らばっているか」を表す散らばりの指標で、両端の極端な値をはじめから見ていない。

$$(\text{四分位範囲})=Q_3-Q_1=63.5-47.5=16$$

散らばりの指標には $2$ 系統ある。

• 範囲・標準偏差: すべての値の大きさを使う。情報は豊かだが、極端な値に振り回される
• 四分位範囲: 順位しか使わない。情報は粗いが、極端な値にびくともしない

「頑丈さ」を数学の言葉でロバストという。テストの点、家賃、年収 — 少数の極端な値が混じる現実のデータでは、四分位数のほうが実態をよく表すことが多い。次に学ぶ箱ひげ図が四分位数でできているのは、この頑丈さを買っているからなのだ。