数学I / データの分析

データの追加による分散の変化と最小化

★★★ 応用分散データの追加2次関数

問題

9個のデータの平均値は $5$ 、分散は $8$ である。ここに1個のデータ $a$ を追加して10個のデータにする。

(1) $a = 5$ のとき、追加後の平均値と分散を求めよ。

(2) 追加後の分散が最小となる $a$ の値と、そのときの分散を求めよ。

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『どんな $a$ を足すと分散が最小?』— 正体は2次関数の最小問題。追加後の分散を $a$ の式で書けば、あとは平方完成。答えの $a$ は、実は元のあの値と一致する — 直感的にも納得できるはず。

解答・解説

方針

『どんな値 $a$ を追加すると分散が最小になるか』。分散の問題でありながら、正体は2次関数の最小値問題だ。

準備として、追加前の『総和』( $45$ )と『2乗の総和』( $9 \times (8 + 25) = 297$ )を復元しておく。(1)は $a = 5$ での素直な計算。(2)は追加後の分散を $a$ の式で書くと2次関数になるので、平方完成に持ちこむ。

答えは『平均と同じ値を追加したとき最小』。直感的にもきれいな結論が待っている。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 追加する値 $a$ を動かして、分散を最小にしたい。

分散を $a$ の式で書いてみる。すると正体は $a$ の $2$ 次関数の最小値問題だと分かる。

準備として、元データを総和と $2$ 乗の総和に還元しておく。個々の値は知らなくても、この $2$ つがあれば追加後の平均も分散も書ける。

「統計量を $a$ の関数とみる」。この視点の切り替えが発想の核だ。

公式

\overline{x^{2}} = s^{2} + (\overset{x}{ˉ})^{2}

。追加後の分散は

a

の2次関数になる

追加前のデータについて、総和は $5 \times 9 = 45$ 、また $\overline{x^{2}} = 8 + 5^{2} = 33$ より2乗の総和は $33 \times 9 = 297$ だ。個々のデータは知らなくても、この2つの合計さえあれば追加後の平均も分散も書ける。これがこの問題の土台だ。

(1) $a = 5$ を追加すると、総和は $45 + 5 = 50$ 、人数は $10$ なので

$平均値 = \frac{50}{10} = 5$

(平均と同じ値を加えたので、平均は変わらない。)2乗の総和は $297 + 25 = 322$ なので

$分散 = \frac{322}{10} - 5^{2} = 32.2 - 25 = 7.2$

分散は $8$ から $7.2$ に減った。散らばりゼロの値(平均ちょうど)が1つ加わって、全体の散らばりが薄まったのだ。

(2) データ $a$ を追加したときの分散を $V (a)$ とすると、(1)と同じ枠組みで

$V (a) = \frac{297 + a ^{2}}{10} - (\frac{45 + a}{10})^{2}$

これは $a$ の2次関数だ。ここからはデータの分析ではなく2次関数の土俵で戦う。通分して整理すると

$V (a) = \frac{10 ( 297 + a ^{2} ) - ( 45 + a ) ^{2}}{100} = \frac{2970 + 10 a ^{2} - ( 2025 + 90 a + a ^{2} )}{100} = \frac{9 a ^{2} - 90 a + 945}{100}$

分子を平方完成すると

$9 a^{2} - 90 a + 945 = 9 (a^{2} - 10 a) + 945 = 9 (a - 5)^{2} - 225 + 945 = 9 (a - 5)^{2} + 720$

よって

$V (a) = \frac{9 ( a - 5 ) ^{2} + 720}{100} = \frac{9}{100} (a - 5)^{2} + 7.2$

$(a - 5)^{2} ≧ 0$ なので、 $V (a)$ は $a = 5$ のとき最小値 $7.2$ をとる。

追加後の分散 V(a) は a の2次関数 — a = 5(平均と同じ値)で最小 7.2

結論。 $a = 5$ (もとの平均値と同じ値)のとき、分散は最小値 $7.2$ になる。

振り返り。 最小値を与える $a = 5$ が、もとの平均値そのものであることに注目してほしい。平均と同じ値の追加は散らばりに何も足さないから、分散は $8 \times \frac{9}{10} = 7.2$ に薄まるだけ。そして平均から離れるほど $(a - 5)^{2}$ に比例して分散がふくらむ。統計量を変数の関数と見て最適化する、という発想は数学Bの統計でも再登場する。分散・2次関数・平方完成が一本につながる、単元横断の良問だ。

発展 — 一歩先へ。 この $V (a) = \frac{9}{100} (a - 5)^{2} + 7.2$ の開き具合(放物線のとがり)は、データの個数と結びついている。 $n$ 個に $1$ 個を足すとき、 $V (a)$ の $(a - 平均)^{2}$ の係数は $\frac{n}{( n + 1 ) ^{2}}$ になる。今回は $n = 9$ なので $\frac{9}{100}$ だ。

この係数は $n$ が大きいほど $0$ に近づく。だから追加する $1$ 点を平均から同じだけ動かしても、大きなデータほど分散は動きにくい。 $1$ 個の値がもつてこの力は、およそ $\frac{1}{n}$ の速さで薄まっていく。

平均への効き方も同じで、 $1$ 個の追加は平均を $\frac{a - 平均}{n + 1}$ しかずらさない。「たくさん集めるほど、 $1$ 個の追加や小さな誤りが統計量をほとんど動かさなくなる」という、大きな標本が安定する仕組みが、この放物線のとがりに表れている。

答

(1) 平均値 $5$ 、分散 $7.2$ (2) $a = 5$ のとき最小値 $7.2$

別解

別解 — 平均からのずれ $t$ で見て平方完成を避ける(得意な人向けの視点)。 追加する値を $a = 5 + t$ とおく。 $t$ は「元の平均からのずれ」だ。

分散は「ある基準からの $2$ 乗和 ÷ 個数」で計算できる。基準を元の平均 $5$ にとると、 $2$ 乗和が楽に書ける。

元の $9$ 個は、 $5$ を基準にした $2$ 乗和が「分散 × 個数」 $= 8 \times 9 = 72$ 。追加した $a$ の分は $(a - 5)^{2} = t^{2}$ 。合わせて、基準 $5$ まわりの $2$ 乗和は $72 + t^{2}$ 。

分散は本当は「新しい平均」まわりで測る。新しい平均は $5 + \frac{t}{10}$ で、基準 $5$ から $\frac{t}{10}$ ずれている。基準をずらすと $2$ 乗和は(個数)×(ずれ) $^{2}$ だけ小さくなるから

$\sum (新平均まわり) = 72 + t^{2} - 10 (\frac{t}{10})^{2} = 72 + \frac{9}{10} t^{2} .$

これを個数 $10$ で割って

$V = 7.2 + \frac{9}{100} t^{2} .$

$t^{2} \geq 0$ より $t = 0$ 、すなわち $a = 5$ で最小値 $7.2$ 。展開して平方完成する本解と同じ答えだが、平均からのずれ $t$ で見ると「平均を足すと散らばりは増えない」が計算に直接現れる。

ポイント

「平均・分散が与えられたデータへの追加」は、総和と2乗の総和を復元してから扱う
追加後の分散は追加する値 $a$ の2次関数になる — 平方完成で最小化できる
平均と同じ値を追加すると分散は $\frac{n}{n + 1}$ 倍に縮む(散らばり自体は増えないため)

よくある間違い

(1) で分散が $8$ のまま変わらないと考える(分母が $10$ に増える効果を見落とす)。
(2) の展開で $(45 + a)^{2}$ の中央の項 $90 a$ を落とし、頂点の $a$ を取り違える。
$V (a)$ を最小化しようと $a$ の値を手当たりしだいに代入し、 $2$ 次関数と気づかず遠回りする。