数学I / データの分析

分散の公式((2乗の平均)−(平均の2乗))

★ 基礎分散分散の公式

問題

5個のデータ

$1, 2, 4, 5, 8$

について、分散を「(データの2乗の平均値)−(平均値の2乗)」の公式を用いて求めよ。また、標準偏差を求めよ。

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分散にはもう1つの顔『(2乗の平均)−(平均の2乗)』がある。 $\overline{x^{2}}$ (先に2乗して平均)と $(\overset{x}{ˉ})^{2}$ (先に平均して2乗)は別物 — この2つを別々に出して引くだけ。順序を取り違えないこと。

解答・解説

方針

分散には、定義式のほかにもう1つの顔がある。 $s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ 、言葉にすると『2乗の平均 − 平均の2乗』だ。

定義式で計算すると偏差が分数や小数になって苦しい場面でも、この公式なら元のデータを2乗するだけで済む。必要な材料は $\overset{x}{ˉ}$ と $\overline{x^{2}}$ の2つ。順に求めて代入する。

$\overline{x^{2}}$ (2乗してから平均)と $(\overset{x}{ˉ})^{2}$ (平均してから2乗)は別物だ。この区別が公式のすべてと言っていい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今回は公式を使えと指定されている。

$(分散) = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$

日本語で読むと「 $2$ 乗の平均引く平均の $2$ 乗」となる。順番を逆にすると符号がひっくり返って負になる。 $2$ 乗の平均が先、と唱えて覚えるとよい。

必要なものは $2$ つだけだ。

平均 $\overset{x}{ˉ}$ — データを足して個数で割る
$2$ 乗の平均 $\overline{x^{2}}$ — 各データを $2$ 乗してから足して、個数で割る

偏差を $1$ つずつ書き出す手間がないのが、この公式の値打ちである。分散が出たら、最後に平方根をとって標準偏差にする。

公式分散

s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}

(2乗の平均

-

平均の2乗)

まず平均値 $\overset{x}{ˉ}$ 。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 2 + 4 + 5 + 8}{5} = \frac{20}{5} = 4$

2乗の平均 $\overline{x^{2}}$ 。 各データを先に2乗してから、平均をとる。

$\overline{x^{2}} = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2} + 8 ^{2}}{5} = \frac{1 + 4 + 16 + 25 + 64}{5} = \frac{110}{5} = 22$

公式に代入。

$s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2} = 22 - 4^{2} = 22 - 16 = 6$

よって標準偏差は

$s = 6$

$\overline{x^{2}} = 22$ と $(\overset{x}{ˉ})^{2} = 16$ がちがう値であること。この差こそが散らばりの正体だ(データが全部同じ値なら両者は一致して分散 $0$ になる)。引き算の順序を逆にすると分散が負になってしまう。分散は必ず $0$ 以上なので、負が出たら順序ミスを疑えばいい。

(検算: 定義式で計算すると、偏差は $- 3, - 2, 0, 1, 4$ 、その2乗和は $9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30$ 、分散は $30 \div 5 = 6$ で一致する。)

発展 — 一歩先へ。 公式 $\overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2} ≧ 0$ は、 $\overline{x^{2}} ≧ (\overset{x}{ˉ})^{2}$ — つまり「 $2$ 乗してから平均したもの $≧$ 平均してから $2$ 乗したもの」を意味する。等号はデータが全部同じ値のとき(散らばりゼロ)だけだ。

これは数学の重要な不等式の特別な場合である。一般に、下に凸な関数 $f$ について

$\overline{f (x)} ≧ f (\overset{x}{ˉ})$

が成り立つ(イェンセンの不等式)。 $f (x) = x^{2}$ が下に凸だから、上の関係が出るわけだ。相加平均と相乗平均の関係も、この不等式の仲間である。

「散らばりがあると、 $2$ 乗の平均は平均の $2$ 乗より必ず大きくなる」 — 分散とは、まさにこの $2$ つの差を測っている量なのだ。公式は暗記事項ではなく、凸性という深い構造の顔である。

答

分散 $6$ 、標準偏差 $6$

別解

定義どおり(偏差を $2$ 乗して平均)でも計算し、公式の答えと合うことを確かめよう。 公式を「暗記した呪文」でなく「証明つきの道具」にするためだ。

平均は $\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 2 + 4 + 5 + 8}{5} = \frac{20}{5} = 4$ 。

偏差(平均からのズレ)を書き出す。

$1 - 4 = - 3, 2 - 4 = - 2, 4 - 4 = 0, 5 - 4 = 1, 8 - 4 = 4$

合計は $- 3 - 2 + 0 + 1 + 4 = 0$ ✓(偏差の和はいつも $0$ 。ここで $0$ にならなければ平均の計算ミスだ — よい検算になる)。

$2$ 乗して平均する。

$(分散) = \frac{( - 3 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} + 4 ^{2}}{5} = \frac{9 + 4 + 0 + 1 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6$

公式で出した $6$ と一致した。

$2$ つの式が必ず一致する理由を、文字で確かめておく。データを $x_{1}, \dots, x_{n}$ 、平均を $m$ とすると

$\frac{1}{n} \sum (x_{i} - m)^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i}^{2} - 2 m x_{i} + m^{2}) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - 2 m \cdot \frac{1}{n} \sum x_{i} + m^{2}$

ここで $\frac{1}{n} \sum x_{i} = m$ だから、真ん中の項は $- 2 m^{2}$ 。したがって

$= \overline{x^{2}} - 2 m^{2} + m^{2} = \overline{x^{2}} - m^{2}$

展開して平均をとるだけで公式が出た。丸暗記する必要はない。

どちらを使うべきか。 判断基準はただ $1$ つ、平均が整数かどうかである。

平均が整数(今回の $4$ )→ 偏差もきれいな整数。定義どおりが速い
平均が小数(たとえば $6.4$ )→ 偏差が全部小数になり、 $2$ 乗すると桁が増える。公式のほうが圧倒的に速い

そして公式には大事な確認ポイントがある。分散は必ず $0$ 以上だから、 $\overline{x^{2}} ≧ (\overset{x}{ˉ})^{2}$ が常に成り立つ。もし引き算の結果が負になったら、どこかで計算ミスをしている — その場で気づける検算になる。

ポイント

$s^{2} = \overline{x^{2}} - (\overset{x}{ˉ})^{2}$ — 「2乗の平均引く平均の2乗」
引く順序を間違えない(逆にすると負になる)
定義式と公式、両方で計算できると検算が可能になる

よくある間違い

$(\overset{x}{ˉ})^{2} - \overline{x^{2}}$ と順序を逆にする(分散は必ず $0$ 以上)
$\overline{x^{2}}$ の計算で2乗せずに合計する
$\overline{x^{2}}$ を「合計を2乗して個数で割る」と誤解する(先に各データを2乗してから足す)