偏差の絶対値の和を最小にする値は中央値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $h(a)$ は絶対値の和 — グラフは折れ線(区分的に1次)だ。増減は傾きで読む。

$a$ がデータ点でない場所での傾きは、$|x_i-a|$ ごとの $\pm 1$ の合計: 左に $k$ 個・右に $n-k$ 個なら傾き $k-(n-k)=2k-n$。

$a$ が左から右へ動くと、傾きは $-n$ から $+n$ へ、点を通過するたび $+2$ ずつ増える。$n$ が奇数なら、傾きが負から正に変わるのは中央値のところ — そこが谷底だ。

① 傾きを読む。 $x_k<a<x_{k+1}$ のとき、$a$ より左に $k$ 個、右に $n-k$ 個。$a$ を微小に増やすと $h$ の変化率(傾き)は $$k\cdot (+1)+(n-k)\cdot (-1)=2k-n.$$ ② 符号の変化。 $2k-n<0⟺k<\frac{n}{2}$、$2k-n>0⟺k>\frac{n}{2}$。$a$ が小さい($k$ 小)ときは負、大きい($k$ 大)ときは正。傾きが負から正に変わる所で最小。

③ 中央値。 $n$ が奇数なら、$k=\frac{n-1}{2}$ で傾き負、$k=\frac{n+1}{2}$ で傾き正。境目の点 $x_{(n+1)/2}$(中央値)で最小。 $$a=x_{(n+1)/2}(\text{中央値}).$$

まとめ $h(a)$ の傾きは左右の個数差 $2k-n$。負→正に変わる中央値 $x_{(n+1)/2}$ で最小。「絶対値ずれ」の最小は中央値。中央値と絶対値関数(折れ線)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $n$ が偶数のときは、中央の2点の間のどこでも最小(傾きが $0$ の平らな区間ができる)— 「中央値」を中央2点の平均と定義するのは、この最小区間の代表を1つ選ぶ約束事だ。また本問の折れ線の議論は、実数と1次不等式で学んだ $|x-1|+|x-2|+|x-3|$ の最小と同じもの — 3点から $n$ 点への一般化が、統計の言葉で意味を得た形になる。

別解

外側からペアで押さえる(はさみの下界)。 最小と最大をペアにすると、三角不等式から

$$|x_1-a|+|x_n-a|\ge x_n-x_1(\text{等号は }{x}_1\le a\le x_n)$$

同様に内側へ: $|x_2-a|+|x_{n-1}-a|\ge x_{n-1}-x_2$(等号は $a$ がこの区間内)、…と外側から順にペアを組む。$n$ が奇数なら、最後に中央の1項 $|x_{(n+1)/2}-a|\ge 0$(等号は $a=$ 中央値)が残る。

全部の等号を同時に成り立たせられる $a$ は、すべての入れ子区間に属し、かつ中央値に一致する点 — つまり $a=$ 中央値。そのとき最小値は「外側ペアの差の総和」$\sum (x_{n+1-i}-x_i)$ になる。

傾きの勘定(本解)は増減を追う解析の道、ペアリングは「どの項がどれだけ下がれるか」を幾何(距離)で見る道。等号条件の入れ子構造まで見えるのが、この論法の御利益だ。