共分散と相関係数の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの量の関係を測りたい。カギは偏差の積である。

各生徒について「数学が平均より上か下か」「英語が平均より上か下か」を見る。

• 両方とも平均より上(偏差が $+$ と $+$)→ 積は正
• 両方とも平均より下($-$ と $-$)→ 積は正
• 片方だけ上($+$ と $-$)→ 積は負

つまり「$2$ 科目が同じ方向に動く人が多いほど、積の合計は大きくなる」。この積の平均が共分散だ。

ただし共分散は単位に左右される(点を $2$ 倍すれば $2$ 倍になる)。そこでそれぞれの標準偏差で割って規格化したのが相関係数 $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$ である。手順は「平均 → 偏差 → 積と $2$ 乗 → 割り算」。表を作って淡々と進めよう。

まず平均値。

$$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,\bar{y}=\frac{2+3+5+4+6}{5}=4$$

偏差を整理する。 偏差の計算は表にして淡々と進めるのがミスを防ぐコツだ。

$x$ の偏差: $-2,-1,0,1,2$

$y$ の偏差: $-2,-1,1,0,2$

偏差の積: $4,1,0,0,4$

積がすべて $0$ 以上。どの組も『$x$ が平均より上なら $y$ も上』という同じ向きのずれ方をしていることが、この時点で読み取れる。

共分散。

$$s_{xy}=\frac{4+1+0+0+4}{5}=\frac{9}{5}=1.8$$

それぞれの標準偏差。

$$s_x^2=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2,s_y^2=\frac{4+1+1+0+4}{5}=2$$

よって $s_x=s_y=\sqrt{2}$ だ。

相関係数。

$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{1.8}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1.8}{2}=0.9$$

$r=0.9$ は $1$ にかなり近い。$x$ と $y$ の間には強い正の相関がある。散布図を思いうかべると、点がほぼ右上がりの直線に沿って並んでいる状態だ。相関係数は必ず $-1\leqq r\leqq 1$ に収まる。もし計算結果がこの範囲を飛び出したら、どこかで計算ミスをしている。

発展 — 一歩先へ。 相関係数が $-1$ 以上 $1$ 以下に収まるのは偶然ではない。$x$ の偏差を並べたものを $\vec{u}$、$y$ の偏差を並べたものを $\vec{v}$ というベクトルだと思うと

$$r=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\cos \theta$$

— 相関係数は、$2$ つの偏差ベクトルのなす角の $\cos$ そのものなのだ。

これで何もかも腑に落ちる。

• $\cos$ は $-1$ 以上 $1$ 以下 → $|r|\leqq 1$
• $r=1$($\theta =0^{\circ }$)= 偏差ベクトルが同じ向き = 完全な右上がりの直線
• $r=0$($\theta =90^{\circ }$)= 偏差ベクトルが直交 = 無相関
• $r=-1$($\theta =180^{\circ }$)= 真逆の向き = 完全な右下がりの直線

「無相関」を「直交」と呼びかえられるのが面白いところだ。統計の相関と、ベクトルの内積は同じ構造をしている。$|\vec{u}\cdot \vec{v}|\leqq |\vec{u}||\vec{v}|$(コーシー・シュワルツ)が $|r|\leqq 1$ の正体である。

数学の異なる分野が、同じ形の式で結ばれる — こういう瞬間に出会えるのが、学びを続けるご褒美だろう。

別解

共分散の符号は、散布図を見れば計算前に分かる。 数値の意味を絵でつかんでおこう。

散布図に「平均の十字線」を引く。 縦線を $x=3$($x$ の平均)に、横線を $y=4$($y$ の平均)に引くと、散布図が $4$ つの部屋に分かれる。

• 右上の部屋($x$ も $y$ も平均超): 偏差の積は $(+)\times (+)=$ 正
• 左下の部屋(どちらも平均未満): $(-)\times (-)=$ 正
• 左上・右下の部屋(一方だけ平均超): 積は 負

$5$ 人がどの部屋にいるか調べる。偏差の組は

$$(-2,-2),(-1,-1),(0,+1),(+1,0),(+2,+2)$$

負の部屋(左上・右下)に入る人が $1$ 人もいない。 $3$ 人が右上か左下、$2$ 人は十字線の上に乗っている(積は $0$)。だから偏差の積の合計は正 — 計算する前から共分散が正だと分かる。

共分散とは、右上・左下に点が集まっている度合いである。右上がりに並ぶほど、正の項ばかりになって値が大きくなる。逆に右下がりなら負の項ばかりで、共分散は負になる。

では、なぜ標準偏差で割るのか。 共分散 $1.8$ という数字は、それだけ見ても大きいのか小さいのか分からない。得点を $10$ 倍(たとえば $100$ 点満点に換算)すれば共分散は $100$ 倍の $180$ になる — 単位を変えただけで数字が化けるのでは、物差しにならない。

そこでそれぞれの散らばり($s_x$、$s_y$)で割る。すると単位が打ち消し合い、$-1$ から $1$ のあいだの、単位を持たない数になる。これが相関係数だ。

実際、英語の得点を $y^{\prime }=2y+3$(採点方式を変えた)としても、共分散は $2$ 倍、$s_y$ も $2$ 倍になるので、割り算で $2$ が消えて $r=0.9$ のままである。相関係数は「ものさしの取り替え」に動じない — だから身長と体重、気温と売上のように単位の違う量の関係も測れる。

$$r=\frac{1.8}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1.8}{2}=0.9$$

$1$ に近いので「強い正の相関」。$|r|\leqq 1$ が必ず成り立つ(これは数IIで学ぶコーシー・シュワルツの不等式そのものだ)ので、$1$ を超える値が出たら計算ミスである。よい検算になる。