数学I / データの分析

データの1次変換と標準化(相関係数の不変性)

実戦編データの分析1次変換相関係数標準化単元横断

問題

データ $x_{i}$ を $u_{i} = a x_{i} + b$ ( $a > 0$ )、 $y_{i}$ を $v_{i} = c y_{i} + d$ ( $c > 0$ )と変換する。 $u$ と $v$ の相関係数 $r_{uv}$ が、もとの $x$ と $y$ の相関係数 $r_{x y}$ と一致することを示せ。

ヒントを見る

$u_{i} - \overset{u}{ˉ} = a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$ 。共分散 $s_{uv} = \frac{1}{n} \sum (u_{i} - \overset{u}{ˉ}) (v_{i} - \overset{v}{ˉ}) = a c s_{x y}$ 。標準偏差は $a s_{x}, c s_{y}$ 。比をとると?

解答・解説

方針

$1$ 次変換で標準偏差は $∣ a ∣$ 倍・ $∣ c ∣$ 倍、共分散は $a c$ 倍になることを偏差から示す。相関係数は比なので係数が約分される。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相関係数は $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ という比。だから「1次変換で分子と分母が同じ倍率で変わる」ことを言えば、比は変わらない。

偏差で追うと: $u_{i} - \overset{u}{ˉ} = a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$ (切片 $b$ は平均ごと消える)。

よって標準偏差は $s_{u} = a s_{x}$ ( $a > 0$ )、共分散は $s_{uv} = a c s_{x y}$ 。比をとれば $a c$ が約分されて $r_{uv} = r_{x y}$ 。

重要

u_{i} = a x_{i} + b \Rightarrow u_{i} - \overset{u}{ˉ} = a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})

(定数

b

は偏差から消える)

① 偏差の変換。 $\overset{u}{ˉ} = a \overset{x}{ˉ} + b$ なので $u_{i} - \overset{u}{ˉ} = a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$ 。同様に $v_{i} - \overset{v}{ˉ} = c (y_{i} - \overset{y}{ˉ})$ 。

② 共分散・標準偏差。 $s_{uv} = \frac{1}{n} \sum (u_{i} - \overset{u}{ˉ}) (v_{i} - \overset{v}{ˉ}) = \frac{1}{n} \sum a c (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ}) = a c s_{x y},$ $s_{u} = \frac{1}{n} \sum a^{2} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = a s_{x} (a > 0), s_{v} = c s_{y} .$ ③ 相関係数。 $r_{uv} = \frac{s _{uv}}{s _{u} s _{v}} = \frac{a c s _{x y}}{( a s _{x} ) ( c s _{y} )} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = r_{x y} .$

まとめ $1$ 次変換で偏差が $a, c$ 倍 → 共分散 $a c$ 倍・標準偏差 $a, c$ 倍、比の相関係数では約分されて $r_{uv} = r_{x y}$ 。相関は位置と尺度に依らない。相関係数と $1$ 次変換の融合。

発展 — 一歩先へ。 標準化 $z = \frac{x - x ˉ}{s _{x}}$ は「平均0・標準偏差1」の共通のものさしへの乗り換えで、実用では偏差値( $50 + 10 z$ )がその代表だ。 $a < 0$ (符号を反転する変換)では $r$ の符号だけが反転する( $∣ r ∣$ は不変)— 「相関の強さは単位に依らず、向きは軸の向きに従う」と、変換の影響が完全に整理できる。

答

$s_{u} = a s_{x}, s_{v} = c s_{y}$ 、共分散 $s_{uv} = a c s_{x y}$ 。 $r_{uv} = \frac{s _{uv}}{s _{u} s _{v}} = \frac{a c s _{x y}}{a s _{x} \cdot c s _{y}} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = r_{x y}$ 。

別解

「標準化してから測る量」と読む(定義の再解釈)。 データ $x$ の標準化(平均 $0$ ・標準偏差 $1$ への変換)を $z_{i} = \frac{x _{i} - x ˉ}{s _{x}}$ とすると、相関係数は

$r_{x y} = \frac{1}{n} \sum z_{i} w_{i} (w_{i} は y の標準化)$

— 標準化データの積の平均として書ける。

ここで $u = a x + b$ ( $a > 0$ )の標準化を計算すると $\frac{u _{i} - u ˉ}{s _{u}} = \frac{a ( x _{i} - x ˉ )}{a s _{x}} = z_{i}$ — 標準化は1次変換を完全に吸収して不変。よって $r$ も不変だ。

係数の約分(本解)は計算による確認、標準化の視点は「 $r$ は単位や原点の取り方を消してから測る設計になっている」という定義の思想の説明。摂氏を華氏に変えても、cmをインチに変えても相関が変わらないのは、この設計のおかげだ。

ポイント

定数 $b$ は偏差 $u_{i} - \overset{u}{ˉ} = a (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$ で消える。
$s_{uv} = a c s_{x y}, s_{u} = a s_{x}, s_{v} = c s_{y}$ 。
$r_{uv} = r_{x y}$ (相関は不変)。

よくある間違い

$a < 0$ の場合を考えずに $s_{u} = a s_{x}$ とする(一般には $∣ a ∣$ 倍。本問は $a > 0$ の仮定 — 仮定を使ったと明示)。
切片 $b, d$ が共分散に影響すると思って項を残す(偏差をとった瞬間に消える)。
結論だけ覚えて「なぜ比だと不変か」(分子分母が同じ $a c$ 倍)を説明できない。