運動量と力積 — 保存則・衝突・反発係数

質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体が、速さ $3.0m/s$ で東向きに運動している。この物体の運動量の大きさと向きを答えよ。

物体に一定の大きさ $20\mathrm{N}$ の力を $0.30$ 秒間加え続けた。この間に物体が受けた力積の大きさを求めよ。

質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体が一直線上を $3.0m/s$ で進んでいる。進行方向に一定の力を $0.50$ 秒間加えたところ、速さは $8.0m/s$ になった。(1) 物体が受けた力積 (2) 加えた力の大きさ をそれぞれ求めよ。

静止していた質量 $0.50\mathrm{kg}$ の物体に、図のように時間変化する力を加えた。力は $0.10$ 秒で最大 $40\mathrm{N}$ まで直線的に増え、その後 $0.10$ 秒で直線的に $0$ に戻った。(1) 物体が受けた力積 (2) 力を加え終えたときの物体の速さ をそれぞれ求めよ。

質量 $0.20\mathrm{kg}$ のボールが、速さ $15m/s$ で壁に垂直に当たり、速さ $10m/s$ で垂直にはね返った。ボールが壁から受けた力積の大きさと向きを求めよ。

なめらかな水平面上を速さ $3.0m/s$ で進む質量 $4.0\mathrm{kg}$ の物体が、静止している質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体に衝突し、一体となって進んだ。一体となった後の速さを求めよ。

なめらかな水平面上を速さ $4.0m/s$ で進む質量 $2.0\mathrm{kg}$ の球 A が、静止している質量 $3.0\mathrm{kg}$ の球 B に正面衝突した。衝突後、A は同じ向きに速さ $1.0m/s$ で進んだ。衝突後の B の速さを求めよ。

ボールが床に速さ $5.0m/s$ で垂直に衝突し、速さ $4.0m/s$ で垂直にはね返った。床とボールの間の反発係数を求めよ。

一直線上を、球 A が速さ $5.0m/s$、球 B が速さ $1.0m/s$ で同じ向きに進み、A が B に追いついて衝突した。衝突後、A は $2.0m/s$、B は $4.0m/s$ で同じ向きに進んだ。反発係数を求めよ。

なめらかな水平面上に静止していた質量 $6.0\mathrm{kg}$ の物体が、内部の火薬の爆発によって質量 $2.0\mathrm{kg}$ と $4.0\mathrm{kg}$ の 2 つの部分に分裂した。$2.0\mathrm{kg}$ の部分が速さ $6.0m/s$ で飛んだとき、$4.0\mathrm{kg}$ の部分の速さと向きを求めよ。

質量 $0.20\mathrm{kg}$ のボールが速さ $20m/s$ で飛んでくる。これを捕球して止めるとき、(1) 手を固定したまま $0.10$ 秒で止める場合 (2) 手を引きながら $0.50$ 秒かけて止める場合 のそれぞれについて、手がボールに加える平均の力の大きさを求めよ。

ボールを高さ $1.25\mathrm{m}$ から静かに落としたところ、床ではね返って高さ $h^{\prime }$ まで上がった。床との反発係数を $0.80$ とするとき、$h^{\prime }$ を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

静止していた質量 $0.50\mathrm{kg}$ の物体に力を加えた。力は $0.10$ 秒で $0$ から $30\mathrm{N}$ まで直線的に増え、$0.20$ 秒間 $30\mathrm{N}$ を保ち、その後 $0.10$ 秒で直線的に $0$ に戻った。(1) 物体が受けた力積 (2) 力を加え終えたときの速さ をそれぞれ求めよ。

なめらかな水平面上を速さ $8.0m/s$ で進む質量 $3.0\mathrm{kg}$ の球 A が、静止している質量 $3.0\mathrm{kg}$ の球 B に正面衝突した。反発係数を $0.75$ とする。衝突後の A、B の速度をそれぞれ求めよ。

なめらかな水平面上を速さ $5.0m/s$ で進む質量 $m$ の球 A が、静止している同じ質量 $m$ の球 B に正面から弾性衝突($e=1$)した。衝突後の A、B の速度を求め、衝突の前後で運動エネルギーが保存されていることを確かめよ。

なめらかな(摩擦のない)壁に、ボールが斜めに衝突する。衝突直前の速度の、壁に平行な成分は $6.0m/s$、壁に垂直な成分は $8.0m/s$ であった(速さ $10m/s$)。壁との反発係数を $0.75$ とする。(1) 衝突直後の、壁に平行な成分と垂直な成分 (2) 衝突直後の速度が壁の法線となす角(入射時と比べてどうなるか) を答えよ。$\sqrt{2}=1.41$ とする。

質量 $0.50\mathrm{kg}$ のボールが、東向きに速さ $8.0m/s$ で飛んできた。バットで打ち返したところ、ボールは北向きに速さ $6.0m/s$ で飛んでいった。ボールが受けた力積の大きさを求めよ。

ボールを高さ $4.9\mathrm{m}$ から静かに落とす。床との反発係数を $0.50$ とする。(1) 床に着く直前の速さ (2) 1 回目のバウンドで上がる高さ (3) 2 回目のバウンドで上がる高さ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

なめらかな水平面上で、質量 $1.0\mathrm{kg}$ の物体 A と質量 $4.0\mathrm{kg}$ の物体 B の間に軽いばねをはさんで押し縮め、静かに放した。ばねに蓄えられていた弾性エネルギーは $10\mathrm{J}$ で、すべて 2 物体の運動エネルギーになった。放された後の A、B の速さをそれぞれ求めよ。

質量 $0.050\mathrm{kg}$ の弾丸が速さ $200m/s$ で、なめらかな水平面上に静止する質量 $0.95\mathrm{kg}$ の木片に撃ち込まれ、一体となって滑り出した。(1) 一体となった後の速さ (2) この衝突で失われた運動エネルギー を求めよ。

ボールを高さ $2.5\mathrm{m}$ から静かに落としたところ、床ではね返って高さ $1.6\mathrm{m}$ まで上がった。(1) 床との反発係数 $e$ を、$h$、$h^{\prime }$ を用いた式で表せ(導出も示せ)。(2) $e$ の値を求めよ。

なめらかな水平面上を速さ $5.0m/s$ で進む質量 $1.0\mathrm{kg}$ の球 A が、静止している同じ質量 $1.0\mathrm{kg}$ の球 B に斜めに衝突した(弾性衝突)。衝突後、A は速さ $3.0m/s$、B は速さ $4.0m/s$ で進んだ。(1) 運動エネルギーが保存されていることを確かめよ。(2) 衝突後の A と B の進む向きのなす角を求めよ。$\sin 37°=0.60$、$\cos 37°=0.80$ とする。

なめらかな水平面上を速さ $6.0m/s$ で進む質量 $2.0\mathrm{kg}$ の球 A が、静止している質量 $2.0\mathrm{kg}$ の球 B に正面衝突した。反発係数を $0.50$ とする。(1) 衝突後の A、B の速さ (2) 衝突で失われた運動エネルギー を求めよ。

質量 $5.0\times 10^3\mathrm{kg}$ の貨車 A が速さ $2.0m/s$ で走り、静止している質量 $3.0\times 10^3\mathrm{kg}$ の貨車 B に連結した。その後、連結した 2 台はさらに静止している質量 $2.0\times 10^3\mathrm{kg}$ の貨車 C に連結した。(1) A と B が連結した直後の速さ (2) 3 台が連結した後の速さ を求めよ。

なめらかな水平面上を速さ $v$ で進む質量 $m_A$ の球 A が、静止している質量 $m_B$ の球 B に正面から弾性衝突した。(1) 衝突後の A、B の速度 $v_A^{\prime }$、$v_B^{\prime }$ を $m_A$、$m_B$、$v$ で表せ。(2) $m_A=2.0\mathrm{kg}$、$m_B=6.0\mathrm{kg}$、$v=8.0m/s$ のときの $v_A^{\prime }$、$v_B^{\prime }$ を求めよ。

一直線上を、質量 $1.0\mathrm{kg}$ の球 A が速さ $6.0m/s$、質量 $2.0\mathrm{kg}$ の球 B が速さ $3.0m/s$ で同じ向きに進んでいる。A が B に追いついて衝突した。反発係数を $0.50$ とする。衝突後の A、B の速度をそれぞれ求めよ。

軽い糸でつるした質量 $0.980\mathrm{kg}$ の木片に、水平に飛んできた質量 $0.020\mathrm{kg}$ の弾丸が撃ち込まれ、一体となって振れ上がり、最高で $0.10\mathrm{m}$ の高さまで上がった。弾丸の撃ち込まれる直前の速さ $v$ を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

なめらかな水平面上に、質量 $2.0\mathrm{kg}$ の球 B と質量 $2.0\mathrm{kg}$ の球 C がこの順に静止している。質量 $1.0\mathrm{kg}$ の球 A が速さ $3.0m/s$ で B に正面から弾性衝突し、続いて B が C に正面から弾性衝突した。すべての衝突の後の A、B、C の速度を求めよ。

なめらかな水平面上に静止していた質量 $6.0\mathrm{kg}$ の物体が、3 つの破片に分裂した。質量 $1.0\mathrm{kg}$ の破片 A は $x$ 軸正の向きに速さ $6.0m/s$、質量 $2.0\mathrm{kg}$ の破片 B は $y$ 軸正の向きに速さ $3.0m/s$ で飛んだ。質量 $3.0\mathrm{kg}$ の破片 C の速度(成分と速さ)を求めよ。$\sqrt{2}=1.41$ とする。

ボールを高さ $4.9\mathrm{m}$ から静かに落とす。床との反発係数を $0.50$ とする。ボールが床との衝突をくり返し、やがて弾まなくなるまでの時間の合計を求めよ。ただし衝突にかかる時間は無視する。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

なめらかな水平床の上に質量 $40\mathrm{kg}$ の台車が静止している。質量 $60\mathrm{kg}$ の人が速さ $3.0m/s$ で走ってきて台車に飛び乗った。(1) 人が乗った後の台車の速さを求めよ。(2) その後、人が台車の上から進行方向に(地面から見て)速さ $3.0m/s$ で飛び降りた。飛び降りた後の台車の速度を求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体 A が速さ $4.0m/s$ で、軽いばねを取り付けた質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体 B(静止)に、ばねの側から衝突した。(1) ばねが最も縮んだ瞬間の 2 物体の速さ (2) そのときばねに蓄えられている弾性エネルギー (3) その後、ばねが元に戻って A と B が離れたときの、それぞれの速度 を求めよ。

なめらかな水平面の上で、質量がどちらも $m=0.20\mathrm{kg}$ の球 A と球 B が衝突する。B は静止しており、A は速さ $v_0=5.0m/s$ で進んできた。

衝突の瞬間に2つの球の中心を結ぶ直線(中心線)は、A の進む向きと角 $\theta$ をなしていた。$\cos \theta =0.80$、$\sin \theta =0.60$ とする。球の表面はなめらかで、衝突のあいだ2球のあいだにはたらく力は中心線の向きだけである。反発係数は $e=0.50$ とする。

(1) 衝突のあいだ、A の速度のうち中心線に垂直な成分(接線成分)が変わらない理由を述べよ。

(2) 衝突直前の A の速度を、中心線方向と接線方向の成分に分けよ。

(3) 衝突直後の A と B の速度を成分で求めよ。また B の速さを求めよ。

(4) この衝突で失われた運動エネルギーを求めよ。

同じ質量 $m=0.10\mathrm{kg}$ の金属球を5個、糸で吊るして一列に接して並べる(ニュートンのゆりかご)。球どうしの衝突は弾性衝突とみなし、糸や空気による損失は無視する。

端の1個だけを持ち上げて放し、速さ $v=2.0m/s$ で列に当てた。反対の端から球が飛び出す。

(1) 「反対の端の1個だけが速さ $v$ で飛び出す」場合の、飛び出す球の運動量と運動エネルギーを求めよ。

(2) 「反対の端の2個が速さ $\frac{v}{2}$ で飛び出す」場合はどうか。運動量と運動エネルギーを求め、これが起こらない理由を述べよ。

(3) 端から2個を持ち上げて、速さ $v$ で当てた。何個がどんな速さで飛び出すか。

(4) 一般に $k$ 個を速さ $v$ で当てたとき、$j$ 個が速さ $u$ で飛び出すとする。$j$ と $u$ を求めよ。

静かな水面に、質量 $m=120\mathrm{kg}$、長さ $L=3.0\mathrm{m}$ のボートが浮かんで静止している。質量 $M=60\mathrm{kg}$ の人が、ボートの一方の端に立っている。

この人がゆっくり歩いて、ボートの反対の端まで移動した。水の抵抗は無視する。

(1) 人とボートを合わせた系について、水平方向の運動量がどうなるか、理由とともに述べよ。

(2) ボートは岸に対してどちら向きに、どれだけ動くか。

(3) 人は岸に対してどちら向きに、どれだけ動くか。

(4) 人が速く歩いた場合と、ゆっくり歩いた場合とで、(2)(3) の答えは変わるか。

断面積 $S=2.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ のノズルから、速さ $v=20m/s$ で水を水平に噴き出し、正面の広い壁に垂直に当てる。水の密度は $\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ とする。

当たった水は跳ね返らず、壁に沿って横へ広がって流れ去るものとする。

(1) 1秒間に壁に当たる水の質量を求めよ。

(2) 水が壁に及ぼす力を求めよ。

(3) もし水が同じ速さでまっすぐ跳ね返るとしたら、力は何倍になるか。

(4) ノズルの先を絞って断面積を半分にした。ポンプが送り出す水の量(1秒あたりの質量)は変えないものとして、壁が受ける力を求めよ。

水平な床の上で、ボールを水平方向の速さ $5.0m/s$、鉛直上向きの速さ $9.8m/s$ で床から投げ出す。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、空気の抵抗は無視する。

床との衝突では、鉛直方向の速さだけが $e=0.50$ 倍 になり、水平方向の速さは変わらないものとする。

(1) 1回目の跳躍(投げ出してから最初に床に落ちるまで)の水平距離を求めよ。

(2) 2回目の跳躍の水平距離を求めよ。

(3) $n$ 回目の跳躍の水平距離を式で表し、ボールが跳ねなくなるまでに進む水平距離の合計を求めよ。

(4) 跳ねるたびに、床から飛び出す速度の向きはどう変わっていくか。

水平なベルトコンベアが、一定の速さ $v=3.0m/s$ で動いている。その上に、真上から砂を静かに(初速 $0$ で)一定の割合 $q=2.0kg/s$ で落とし続ける。

落ちた砂はベルトの上をしばらく滑ったのち、ベルトと同じ速さになって一緒に運ばれていく。ベルトの速さは常に $3.0m/s$ に保たれているものとする。

(1) ベルトの速さを保つために、モーターがベルトに加えなければならない力を求めよ。

(2) モーターがしている仕事率を求めよ。

(3) 砂が得ている運動エネルギーは、1秒あたりいくらか。

(4) (2) と (3) の差はどこへ行ったか。理由とともに述べよ。

見通しの悪い交差点で、東へ進む質量 $1500\mathrm{kg}$ の車 A と、北へ進む質量 $1000\mathrm{kg}$ の車 B が出会い頭に衝突し、そのまま一体となって滑った。衝突の瞬間、A の速さは $16m/s$、B の速さは $32m/s$ であった。衝突は一瞬で、そのあいだ路面から受ける摩擦の力積は無視できるものとする。

(1) 衝突直後の一体の速さを求めよ。

(2) 一体が滑り出す向きを、東の向きから北へ測った角の正接で答えよ。

(3) この衝突で失われた運動エネルギーを求めよ。

(4) 事故の解析では、路面に残った滑り跡から (2) の向きが分かる。向きが分かると、衝突前の2台について何が分かるか述べよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m_1=2.0\mathrm{kg}$ の物体が速さ $6.0m/s$ で、静止している質量 $m_2=4.0\mathrm{kg}$ の物体に一直線に衝突する。

(1) 2つが合体して一体となった場合の速さと、失われた運動エネルギーを求めよ。

(2) 反発係数が $e=0.50$ の場合について、衝突後のそれぞれの速さと、失われた運動エネルギーを求めよ。

(3) 衝突前の運動エネルギーは、一体となって動くぶんと、たがいに近づく運動のぶんとに分けられる。それぞれの値を求めよ。

(4) この衝突でどれだけ工夫しても失えないエネルギーがあることを説明し、失えるエネルギーの最大値を答えよ。

質量 $m_1$ の粒子が速さ $v_0$ で進み、静止している質量 $m_2$ の粒子に正面から衝突する。衝突は弾性衝突で、運動はすべて一直線上で起こるものとする。

(1) この衝突で $m_2$ に移る運動エネルギーは、はじめに $m_1$ がもっていた運動エネルギーの何倍か。その割合 $f$ を $m_1,m_2$ で表せ。

(2) $f$ を最大にする質量の比と、そのときの $f$ の値を求めよ。

(3) 原子炉では、核分裂で生じた速い中性子を減速材の原子核にぶつけてゆっくりにする。中性子の質量を $m$、炭素の原子核の質量を $12m$ とする。中性子が炭素の原子核と正面衝突をくり返すとき、運動エネルギーをはじめの $\frac{1}{1000}$ 以下にするには、少なくとも何回の衝突が必要か。${\log }_{10}11=1.0414$、${\log }_{10}13=1.1139$ を用いよ。

質量 $3m$ の球Aの真上に、質量 $m$ の球Bを接するようにのせ、床から高さ $h=0.10\mathrm{m}$ のところで静かに放す。2 球は接したまま落ち、まずAが床に当たる。

床との衝突、AとBの衝突はどちらも弾性衝突とし、球の大きさと空気抵抗は無視する。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 床に当たる直前の速さを求めよ。

(2) Aが床ではね返った直後の、AとBの速度をそれぞれ答えよ。

(3) その直後に起こるAとBの衝突について、衝突直後のAとBの速度を求めよ。

(4) Bが達する最高点の高さを求めよ。

(5) A、Bの質量の比を自由に変えられるとすると、Bの達する高さは $h$ の何倍まで大きくできるか。

なめらかな水平面上を、質量 $2m$ の球Aが速さ $v_0$ で進み、静止している質量 $m$ の球Bに衝突した。衝突は弾性衝突だが、正面衝突とは限らず、衝突後の 2 球は同一平面内でそれぞれの向きに進む。

(1) 2 球の重心の速度の大きさ $V$ を求めよ。

(2) 重心とともに動く立場から見ると、Aの速さは衝突の前後で変わらない。その速さ $u$ を求めよ。

(3) 衝突後のAの進む向きが、衝突前の向きとなす角を $\theta$ とする。$\theta$ のとりうる最大値を求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $m=0.20\mathrm{kg}$ の小球AとBが、ばね定数 $k=10N/m$ の軽いばねで結ばれて静止している。ばねははじめ自然長である。

いま、Aに瞬間的な力積を与え、Bから遠ざかる向き(ばねを伸ばす向き)に速さ $v_0=2.0m/s$ を与えた。

(1) その後の 2 球の重心の速度を求めよ。

(2) ばねの伸びが最大になる瞬間の、AとBの速度をそれぞれ求めよ。

(3) ばねの伸びの最大値を求めよ。

(4) その後Bの速さが最大になる瞬間の、Bの速さを求めよ。

長さ $L=1.0\mathrm{m}$、質量 $M=2.0\mathrm{kg}$ の一様で柔らかい鎖を、下端が床にちょうど触れるようにまっすぐ垂らし、静かに放す。

鎖は柔らかいので、まだ床に届いていない部分は張力を受けずに自由落下し、床に達した部分はその場に積もって静止する。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 鎖の上端が距離 $x$ だけ落ちた瞬間の、まだ落ちていない部分の速さ $v$ を求めよ。

(2) その瞬間から微小時間 $\Delta t$ のあいだに床に達する鎖の質量 $\Delta M$ と、その部分が床に与える力積の大きさを求めよ。

(3) この瞬間に鎖が床に及ぼす力の大きさを $M,L,g,x$ で表せ。また、それは床に積もっている部分の重さの何倍か。

(4) $x=L$ の瞬間の力の大きさを求めよ。

なめらかな水平の氷の上に、質量 $2m$ のそりが静止している。そりの上には質量 $m$ の砂袋が 2 個のせてあり、全体ははじめ静止している。

そりの上の人が、砂袋をそりから見て後ろ向きに速さ $u=12m/s$ で投げる。人の質量はそりに含めるものとし、氷との摩擦は無視する。

(1) 砂袋を 1 個投げた直後の、そり(残りの砂袋 1 個をのせたまま)の速さを求めよ。

(2) 続けてもう 1 個を、同じくそりから見て後ろ向きに速さ $u$ で投げた。この直後のそりの速さを求めよ。

(3) はじめから 2 個をまとめて、そりから見て後ろ向きに速さ $u$ で同時に投げた場合、そりの速さはいくらか。

(4) (2)と(3)ではどちらが速いか。その理由を述べよ。

なめらかな水平面上に、質量 $m$ の小球AとBが、伸び縮みしない軽い糸で結ばれて置かれている。はじめ糸はたるんでおり、2 球は静止している。

Aに速さ $v_0=4.0m/s$ を与えたところ、しばらくして糸がぴんと張った。張った瞬間、Aの速度の向きは糸の方向と $60^{\circ }$ をなしていた。

糸が張るごく短い時間には、糸の方向にだけ大きな力(撃力)がはたらき、糸は伸びないものとする。

(1) 糸が張った直後のBの速さを求めよ。

(2) 糸が張った直後のAの速さを求めよ。

(3) この瞬間に失われる力学的エネルギーは、はじめの運動エネルギーの何倍か。

なめらかな水平面上の一直線上に、質量 $m_1$ の球A、質量 $m_2$ の球B、質量 $m_3$ の球Cがこの順に並んでいる。BとCははじめ静止しており、Aが速さ $v_0$ でBに向かって進む。

まずAとBが衝突し、続いてBとCが衝突する。衝突はすべて弾性衝突で、運動はこの直線上だけで起こる。

(1) BとCの衝突が終わったあとのCの速さ $v_3$ を、$m_1,m_2,m_3,v_0$ で表せ。

(2) $m_1$ と $m_3$ を変えずに $m_2$ だけを変えるとき、$v_3$ を最大にする $m_2$ を求めよ。

(3) $m_1=m$、$m_3=9m$ とする。(2)の $m_2$ の値と、そのときの $v_3$ を求めよ。またBを置かずにAを直接Cに衝突させた場合のCの速さと比べよ。