物理 / 運動量と力積

運動量保存(2 球の衝突)

★ 基礎運動量保存則衝突

問題

なめらかな水平面上を速さ $4.0 m/s$ で進む質量 $2.0 kg$ の球 A が、静止している質量 $3.0 kg$ の球 B に正面衝突した。衝突後、A は同じ向きに速さ $1.0 m/s$ で進んだ。衝突後の B の速さを求めよ。

正面衝突の前(左)と後(右)。合計 8.0 kg·m/s が保存される

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衝突の前後で運動量の合計は変わらない。前の合計と後の合計を、それぞれ書き出して等しいと置くだけ。未知数は B の速さ 1 つしかない。

解答・解説

運動量保存則 2.0×4.0=2.0×1.0+3.0×vB。A が失った運動量を B が受け取る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 合体しない衝突でも、運動量保存則はそのまま使える。前の合計=後の合計、の 1 本に未知数 1 つだから、方程式はすぐ解ける。

① 保存の式。

$2.0 \times 4.0 + 3.0 \times 0 = 2.0 \times 1.0 + 3.0 \times v_{B}$

② 解く。

$8.0 = 2.0 + 3.0 v_{B} ⟹ v_{B} = \frac{6.0}{3.0} = 2.0 m/s$

まとめ 見方を変えると、A が失った運動量 $8.0 - 2.0 = 6.0 kg \cdot m/s$ を、B がそっくり受け取っている。運動量の受け渡し——保存則とは、系の中でのやり取りの帳尻が必ず合う、という会計の原理である。

答

$2.0 m/s$

力積の受け渡しで見るルート。 衝突中、A は B から後ろ向きの力積を受け、B は A から前向きの力積を受ける。作用・反作用だから 2 つの力積は大きさが等しい。

A の運動量変化: $2.0 - 8.0 = - 6.0 N \cdot s$ 。よって B は $+ 6.0 N \cdot s$ を受け、 $v_{B} = 6.0/3.0 = 2.0 m/s$ 。保存則を使わずに、力積の対称性から直接導く道で、保存則の「証明」を毎回なぞっていることになる。