物理 / 運動量と力積

弾性衝突の一般式

★★★ 応用弾性衝突文字式

問題

なめらかな水平面上を速さ $v$ で進む質量 $m_{A}$ の球 A が、静止している質量 $m_{B}$ の球 B に正面から弾性衝突した。(1) 衝突後の A、B の速度 $v_{A}^{'}$ 、 $v_{B}^{'}$ を $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 、 $v$ で表せ。(2) $m_{A} = 2.0 kg$ 、 $m_{B} = 6.0 kg$ 、 $v = 8.0 m/s$ のときの $v_{A}^{'}$ 、 $v_{B}^{'}$ を求めよ。

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s02 の連立を文字で実行する。保存則 m_Av=m_Av_A'+m_Bv_B' と、e=1 の式 v_B'−v_A'=v の 2 本。代入で 1 文字消去すれば一次方程式である。答えの式で m_A と m_B の大小によって符号が変わる項に注目しよう。

解答・解説

方針

運動量保存と e=1 の式を連立して文字のまま解く。(2) は代入。A が軽いとはね返る(vA'<0)ことが式から読める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 数値でやってきた連立を文字で 1 回やり切っておくと、あらゆる弾性衝突が「代入 1 回」になる。使う式は変わらず、運動量保存と $e = 1$ の 2 本である。

① 連立を解く。

$m_{A} v = m_{A} v_{A}^{'} + m_{B} v_{B}^{'} \dots (1), v_{B}^{'} - v_{A}^{'} = v \dots (2)$

(2) より $v_{B}^{'} = v_{A}^{'} + v$ 。(1) に代入して

$m_{A} v = m_{A} v_{A}^{'} + m_{B} (v_{A}^{'} + v) ⟹ (m_{A} - m_{B}) v = (m_{A} + m_{B}) v_{A}^{'}$

$v_{A}^{'} = \frac{m _{A} - m _{B}}{m _{A} + m _{B}} v, v_{B}^{'} = v_{A}^{'} + v = \frac{2 m _{A}}{m _{A} + m _{B}} v$

② 数値を代入する。

$v_{A}^{'} = \frac{2.0 - 6.0}{8.0} \times 8.0 = - 4.0 m/s, v_{B}^{'} = \frac{2 \times 2.0}{8.0} \times 8.0 = 4.0 m/s$

軽い A ははね返り(負号)、重い B は前へ進む。

軽い球が重い球に弾性衝突すると、はね返される(vA'<0)

まとめ 一般式は 3 つの極限を内蔵している。 $m_{A} = m_{B}$ : 速度交換(s03)。 $m_{A} ≪ m_{B}$ : $v_{A}^{'} \to - v$ (壁ではね返るのと同じ)。 $m_{A} ≫ m_{B}$ : $v_{A}^{'} \to v$ 、 $v_{B}^{'} \to 2 v$ (軽い相手は 2 倍速で弾き飛ばされる)。式の形と極限をセットで覚えると、答えの妥当性チェックが一瞬でできるようになる。

答

(1) $v_{A}^{'} = \frac{m _{A} - m _{B}}{m _{A} + m _{B}} v$ 、 $v_{B}^{'} = \frac{2 m _{A}}{m _{A} + m _{B}} v$ (2) $v_{A}^{'} = - 4.0 m/s$ (はね返る)、 $v_{B}^{'} = 4.0 m/s$

別解

重心系で対称に見るルート(発展)。 重心の速度は $V_{G} = \frac{m _{A} v}{m _{A} + m _{B}}$ (衝突で不変)。重心から見ると、弾性衝突は「両球とも速度が反転するだけ」の完全に対称な現象になる。

A の重心系での速度 $v - V_{G}$ が反転して $- (v - V_{G})$ 、地上系に戻すと $v_{A}^{'} = 2 V_{G} - v = \frac{m _{A} - m _{B}}{m _{A} + m _{B}} v$ ——連立と同じ式が出る。重心系の対称性は、平面の衝突や原子の散乱まで通用する上位の視点である。

ポイント

保存則+e=1 の連立を文字で
vA' の符号は m_A−m_B の符号
3 つの極限(等質量・軽い・重い)で検算

よくある間違い

(2) 式を v_B'−v_A'=−v と符号を誤る
vA' の分子を m_B−m_A と逆にする
数値代入で vA'=+4.0 として向きを見落とす