水の流れが壁を押す力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これまでの衝突は「1回の出来事」だった。ここでは水が絶え間なく当たり続けるので、同じやり方が使えない。

そこで 1秒間に運ばれる運動量 を数える。1秒間に壁へ届く水は、断面積 $S$ で長さ $v$ の柱ぶんである。その柱がもっていた運動量が、1秒のあいだにすべて失われる。

力積と運動量の関係を1秒あたりで書けば

$$(\text{力})\times (1\mathrm{s})=(1\mathrm{s}\text{に当たる水の運動量の変化})$$

となり、力がそのまま「1秒あたりの運動量の変化」として求まる。連続して当たる問題は、1回ぶんではなく1秒ぶんを切り出す のが定石である。

① 1秒間に当たる質量。 1秒間に壁へ届くのは、断面積 $S$、長さ $v\times 1\mathrm{s}$ の柱である。

$$q=\rho Sv=1.0\times 10^3\times 2.0\times 10^{-4}\times 20=4.0kg/s$$

② 壁に及ぼす力。 この $4.0\mathrm{kg}$ の水は、速さ $20m/s$ で来て、壁に垂直な向きの速度を失う(横へ流れ去るので、壁に垂直な成分は $0$ になる)。1秒あたりの運動量の変化は

$$qv=4.0\times 20=80\mathrm{kg}\cdot m/s$$

壁が水に及ぼす力の大きさがこれに等しく、作用反作用より水が壁に及ぼす力も

$$F=\rho S{v}^2=80\mathrm{N}$$

③ 跳ね返る場合。 速度が $+v$ から $-v$ に変わるので、速度の変化は $2v$ になる。1秒あたりの運動量の変化も2倍で

$$F^{\prime }=2\rho S{v}^2=160\mathrm{N}$$

2倍 である。1個の球が壁で跳ね返るとき力積が $2mv$ になるのと同じ理屈が、連続の場合にも効いている。

④ ノズルを絞る。 1秒あたりに送り出す質量 $q=4.0kg/s$ が同じで断面積が半分なら、$q=\rho Sv$ より速さは2倍の $40m/s$ になる。

$$F=qv=4.0\times 40=160\mathrm{N}$$

2倍 になった。力は $q$ と $v$ の積なので、$q$ を変えずに $v$ を上げれば、そのぶんだけ強くなる。

まとめ 連続して当たる流れの力は「1秒あたりの運動量の変化」で読む。跳ね返らせれば速度の変化が2倍、ノズルを絞れば速さが上がって力が上がる。どちらも同じ1本の式から出てくる。

発展 — 一歩先へ。 ②の答えは $F=\rho S{v}^2$ という形をしている。両辺を $S$ で割ると、壁が受ける圧力は

$$\frac{F}{S}=\rho v^2=1.0\times 10^3\times 400=4.0\times 10^5\mathrm{Pa}$$

大気圧のおよそ4倍である。消防のホースが手を離すと暴れるのは、この反作用が数百ニュートンにもなるためである。

なお、飛行機の翼や風車が受ける力も、根は同じ「流れの運動量を曲げる」ことにある。空気を下向きに曲げた反作用が揚力になる。

別解

短い時間 $\Delta t$ を切り出して数えるルート。 「1秒あたり」と決め打ちせず、微小な時間で書くと、単位のつじつまがはっきりする。

時間 $\Delta t$ のあいだに壁へ届く水は、長さ $v\Delta t$、断面積 $S$ の柱である。その質量は

$$\Delta m=\rho Sv\Delta t$$

この水は運動量 $\Delta m\cdot v$ をもっていて、壁に当たってそれを失う。力積と運動量の関係より

$$F\Delta t=\Delta m\cdot v=\rho S{v}^2\Delta t$$

両辺を $\Delta t$ で割ると $\Delta t$ が消えて

$$F=\rho S{v}^2$$

時間が消えるので、どれだけの時間で切り出しても同じ力になる。 定常的に流れているかぎり力は一定である、ということがこの計算から分かる。

この形は「落ちてくる砂が受け皿に及ぼす力」や「ロケットの推力」でも同じである。$\rho Sv$ の部分を「1秒あたりの質量」と読み替えれば、どの場面でも使い回せる。