物理 / 運動量と力積

反発係数(2 球の衝突)

★ 基礎反発係数衝突

問題

一直線上を、球 A が速さ $5.0 m/s$ 、球 B が速さ $1.0 m/s$ で同じ向きに進み、A が B に追いついて衝突した。衝突後、A は $2.0 m/s$ 、B は $4.0 m/s$ で同じ向きに進んだ。反発係数を求めよ。

近づく速さ 4.0、遠ざかる速さ 2.0。e はその比

ヒントを見る

2 球のときの反発係数は「近づく速さ」と「遠ざかる速さ」の比になる。衝突前は 1 秒あたりどれだけ近づいていたか、衝突後はどれだけ離れていくかを計算しよう。

解答・解説

2 球の反発係数は相対速度の比 e=−(vA'−vB')/(vA−vB)。近づく速さ 4.0 に対し、遠ざかる速さ 2.0。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相手も動いている場合、はね返りの元気さは相対速度で測る。「衝突前にどれだけの勢いで近づいたか」に対して「衝突後どれだけの勢いで遠ざかるか」の比が反発係数である。

公式2 球の反発係数

e = - \frac{v _{A}^{'} - v _{B}^{'}}{v _{A} - v _{B}}

(=遠ざかる速さ ÷ 近づく速さ)

① 近づく速さ(衝突前)。

$v_{A} - v_{B} = 5.0 - 1.0 = 4.0 m/s$

② 遠ざかる速さ(衝突後)。

$v_{B}^{'} - v_{A}^{'} = 4.0 - 2.0 = 2.0 m/s$

③ 比をとる。

$e = \frac{2.0}{4.0} = 0.50$

まとめ 公式の負号は「近づく向きと遠ざかる向きが逆」を整えるためのもので、「遠ざかる ÷ 近づく」と日本語で覚えるのが安全。床との衝突(b08)は「相手の速度 0」の特別な場合として、この式に含まれている。

答

$e = 0.50$

B に乗った立場で見るルート。 B と一緒に動く観測者から見ると、衝突前の A は $5.0 - 1.0 = 4.0 m/s$ で自分に向かってくる。衝突後、A は $4.0 - 2.0 = 2.0 m/s$ で遠ざかる(B から見た A の速度)。

相手が止まって見える立場に乗り換えれば、床の衝突と同じ「 $4.0$ で来て $2.0$ で帰る」—— $e = 0.50$ 。相対速度の定義そのものを、観測者の乗り換えで体感する読み方である。