動いている相手への衝突

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相手が動いている衝突でも、装備は同じで保存則+反発係数の 2 本である。$e$ の式に入るのが相対速度であることさえ守れば、追突も正面衝突も同じ型で解ける。

① 2 本の式。

運動量保存: $1.0\times 6.0+2.0\times 3.0=1.0v_A^{\prime }+2.0v_B^{\prime }$、つまり

$$v_A^{\prime }+2v_B^{\prime }=12\cdots (1)$$

反発係数: 近づく速さは $6.0-3.0=3.0$ だから

$$v_B^{\prime }-v_A^{\prime }=0.50\times 3.0=1.5\cdots (2)$$

② 連立を解く。 $(1)+(2)$: $3v_B^{\prime }=13.5$ より $v_B^{\prime }=4.5$。(2) より $v_A^{\prime }=4.5-1.5=3.0$。

$$v_A^{\prime }=3.0m/s,v_B^{\prime }=4.5m/s$$

まとめ 追突後、A は減速($6.0\to 3.0$)、B は加速($3.0\to 4.5$)し、B のほうが速くなって離れていく($v_B^{\prime }>v_A^{\prime }$ は再衝突しない条件でもある)。検算: 保存則 $3.0+9.0=12$ ✓、$e=\frac{4.5-3.0}{3.0}=0.50$ ✓。

別解

B と一緒に動く座標で解くルート。 衝突前の B の速度 $3.0m/s$ の座標系に乗ると、B は静止、A は $3.0m/s$ で近づく——「相手静止」の標準問題に帰着する。

この系で解くと $v_A^{\prime \prime }=\frac{(1.0-2.0\times 0.5)}{3.0}\times 3.0=0$、$v_B^{\prime \prime }=\frac{(1+0.5)\times 1.0}{3.0}\times 3.0=1.5$。地上系に戻して $3.0$ を足すと $v_A^{\prime }=3.0$、$v_B^{\prime }=4.5m/s$。「動く相手は、相手の座標に乗って静止させる」——相対速度の考え方が衝突でも武器になる。