物理 / 運動量と力積

衝突で失えるエネルギーには上限がある

★★★★ 難関運動量保存エネルギー損失反発係数

問題

なめらかな水平面上で、質量 $m_{1} = 2.0 kg$ の物体が速さ $6.0 m/s$ で、静止している質量 $m_{2} = 4.0 kg$ の物体に一直線に衝突する。

(1) 2つが合体して一体となった場合の速さと、失われた運動エネルギーを求めよ。

(2) 反発係数が $e = 0.50$ の場合について、衝突後のそれぞれの速さと、失われた運動エネルギーを求めよ。

(3) 衝突前の運動エネルギーは、一体となって動くぶんと、たがいに近づく運動のぶんとに分けられる。それぞれの値を求めよ。

(4) この衝突でどれだけ工夫しても失えないエネルギーがあることを説明し、失えるエネルギーの最大値を答えよ。

なめらかな水平面上で、2.0 kg の物体が静止した 4.0 kg の物体に一直線に衝突する

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運動エネルギーを、全体が一体で動くぶんと、たがいに近づくぶんに分けて書けないか。前者は運動量が決めてしまうので手が出せない。後者だけが衝突で削れる。

解答・解説

方針

運動量が保存する以上、衝突後も全体としては動き続けなければならない。その「全体で動くぶん」の運動エネルギーは消せない。消せるのは、たがいに近づく相対運動のぶんだけである。運動エネルギーをこの2つに分ける恒等式を作れば、上限がそのまま見える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 衝突でエネルギーはどこまで失えるか。すべて失って両方が止まる、ということはあり得ない。運動量が保存する以上、衝突後も全体としては動き続けなければならない からである。

そこで運動エネルギーを2つに分ける。ひとつは「全体がひとかたまりで動くぶん」、もうひとつは「たがいに近づく相対運動のぶん」。前者は運動量が決めてしまうので手が出せない。削れるのは後者だけ である。

この分け方を式にしてしまえば、上限は計算せずとも読み取れる。

① 合体する場合。 運動量保存より

$2.0 \times 6.0 = (2.0 + 4.0) V ⟹ V = 2.0 m/s$

運動エネルギーは、衝突前が

$\frac{1}{2} \times 2.0 \times 6. 0^{2} = 36 J$

衝突後が

$\frac{1}{2} \times 6.0 \times 2. 0^{2} = 12 J$

失われたのは $36 - 12 = 24 J$ である。

② $e = 0.50$ の場合。 運動量保存と反発係数の式を連立する。

$2.0 v_{1} + 4.0 v_{2} = 12, v_{2} - v_{1} = 0.50 \times 6.0 = 3.0$

第2式を第1式に代入して解くと

$v_{1} = 0, v_{2} = 3.0 m/s$

衝突後のエネルギーは $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 3. 0^{2} = 18 J$ なので、失われたのは $36 - 18 = 18 J$ 。合体のときより少ない。

③ エネルギーを2つに分ける。 全体がひとかたまりで動く速さは、運動量を全質量で割った $V = 2.0 m/s$ である。この速さで全体が動くぶんの運動エネルギーは

$\frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} = \frac{1}{2} \times 6.0 \times 2. 0^{2} = 12 J$

残りが、たがいに近づく運動のぶんである。

$36 - 12 = 24 J$

じつはこれは、換算質量 $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{4}{3} kg$ と相対速度 $u = 6.0 m/s$ を使って

$\frac{1}{2} μ u^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 36 = 24 J$

と書ける。つまり衝突前の運動エネルギーは、いつでも

$K = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} + \frac{1}{2} μ u^{2}$

と2つに分かれる。

重要前半は運動量だけで決まるので衝突では変わらない。**後半だけが削れる**

④ 上限。 衝突の前後で運動量は変わらないので、 $V$ も変わらない。したがって前半の $12 J$ は 何をしても消せない。

削れるのは後半の $24 J$ だけで、それを全部削り切ったのが①の合体(相対速度が $0$ になる)である。よって

$失えるエネルギーの最大 = \frac{1}{2} μ u^{2} = 24 J$

一般の反発係数では、衝突後の相対速度が $e$ 倍になるので、後半のエネルギーは $e^{2}$ 倍に減る。失われるのは

$Δ E = \frac{1}{2} μ u^{2} (1 - e^{2})$

失われる運動エネルギー 24(1−e²) J。e=0(合体)で最大の 24 J、e=1(弾性)で 0 になる

$e = 0.50$ なら $24 \times (1 - 0.25) = 18 J$ で、②の答えと一致する。 $e = 1$ なら $0$ で、弾性衝突では失われない。

まとめ 運動量保存は「全体で動くぶんのエネルギー」を守ってしまう。だから失えるのは相対運動のぶんだけで、その上限が $\frac{1}{2} μ u^{2}$ である。 $e$ を持ち込むと $(1 - e^{2})$ が掛かるだけで、形は変わらない。

発展 — 一歩先へ。 ④の式は、衝突を「相対運動のエネルギーをどれだけ捨てるか」という1つの物差しで測っている。 $e$ は捨て方を決めるつまみで、 $e = 1$ なら何も捨てず、 $e = 0$ なら全部捨てる。

この見方は、原子核に中性子をぶつけて減速させる場面でも使われる。相手の質量を選ぶことで $μ$ を変え、1回の衝突で捨てられるエネルギーの割合を大きくする、という設計になる。

答

(1) $2.0 m/s$ 、失われたのは $24 J$ (2) $m_{1}$ は静止、 $m_{2}$ は $3.0 m/s$ 、失われたのは $18 J$ (3) 一体で動くぶん $12 J$ 、たがいに近づくぶん $24 J$ (4) 運動量が決まっている以上、一体で動くぶんの $12 J$ は消せない。失える最大は $24 J$

別解

衝突後のエネルギーを $v_{1}$ の2次関数として最小にするルート。 恒等式を持ち出さず、素直に最小値を探しても同じ上限が出る。

運動量保存より $v_{2} = \frac{12 - 2.0 v _{1}}{4.0} = 3.0 - 0.50 v_{1}$ 。衝突後のエネルギーは

$K^{'} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times v_{1}^{2} + \frac{1}{2} \times 4.0 \times (3.0 - 0.50 v_{1})^{2}$

展開して整理すると

$K^{'} = 1.5 v_{1}^{2} - 6.0 v_{1} + 18 = 1.5 (v_{1} - 2.0)^{2} + 12$

平方完成の形から、 $K^{'}$ は $v_{1} = 2.0$ のとき最小で、その値は $12 J$ である。 $v_{1} = 2.0$ のとき $v_{2} = 3.0 - 1.0 = 2.0$ となり、2つが同じ速さで動く=合体した状態 に対応する。

失えるエネルギーの最大は $36 - 12 = 24 J$ で、③④と一致した。

こちらのルートは「なぜ合体のときが最大か」を、2次関数の頂点として目で見せてくれる。頂点の高さ $12$ が消せないぶん、頂点の位置 $v_{1} = 2.0$ が全体の速さ、という対応も読み取れる。

ポイント

運動量が保存するので「全体で動くぶん」の運動エネルギーは消せない
$K = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} + \frac{1}{2} μ u^{2}$ と分けると、削れるのは後半だけ
失われるのは $\frac{1}{2} μ u^{2} (1 - e^{2})$ 。 $e = 0$ で最大、 $e = 1$ で 0

よくある間違い

衝突で運動エネルギーを全部失えると考えてしまう。運動量が残る以上、全体は動き続ける
反発係数が小さいほど衝突後の速さも小さい、と一括りにしてしまう。合体しても全体は $V$ で動く
換算質量を $m_{1} + m_{2}$ や $m_{1} m_{2}$ と書き間違える。分母が和、分子が積である