物理 / 運動量と力積

高さの測定から反発係数を求める

★★ 標準反発係数落体

問題

ボールを高さ $2.5 m$ から静かに落としたところ、床ではね返って高さ $1.6 m$ まで上がった。(1) 床との反発係数 $e$ を、 $h$ 、 $h^{'}$ を用いた式で表せ(導出も示せ)。(2) $e$ の値を求めよ。

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e は速さの比。落下の高さから直前の速さが、はね上がりの高さから直後の速さが、それぞれ v=√(2gh) の形で書ける。比をとると何が消えるか。

解答・解説

衝突直前の速さ √(2gh)、直後の速さ √(2gh')。e はその比なので √(h'/h)。数値は √(1.6/2.5)=√0.64。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 反発係数の定義は速さの比だが、速さは直接測りにくい。高さなら巻尺で測れる。高さと速さの関係 $v = 2 g h$ で定義式を書き換えるのが本問の主旨である。

① 式を導く。 衝突直前の速さは $v = 2 g h$ 、直後の速さは $v^{'} = 2 g h^{'}$ 。よって

$e = \frac{v ^{'}}{v} = \frac{2 g h ^{'}}{2 g h} = \frac{h ^{'}}{h}$

( $2 g$ が比の中で消える。)

② 数値を代入する。

$e = \frac{1.6}{2.5} = 0.64 = 0.80$

2 つの高さの測定から e=√(h'/h) が求められる

まとめ b12( $h^{'} = e^{2} h$ )の逆向きの読みで、2 つの高さの測定だけで $e$ が決まる。卓球ボールやバスケットボールの規格検査は、まさに「所定の高さから落として、はね返りの高さが規定範囲か」で行われている。実験とつながる公式は導出ごと覚えておくと強い。

答

(1) $e = \frac{h ^{'}}{h}$ (2) $e = 0.80$

比を先に作るルート。 $h^{'} = e^{2} h$ (b12 の結果)を既知とすれば、両辺を $h$ で割って

$e^{2} = \frac{h ^{'}}{h} = \frac{1.6}{2.5} = 0.64 ⟹ e = 0.80$

導出済みの関係の逆算として 1 行で済む。 $0.64 = 0. 8^{2}$ のような平方数の感覚( $0.49, 0.64, 0.81$ )を持っておくと、根号の計算が瞬時に終わる。