物理 / 運動量と力積

衝突で失われる運動エネルギー

★★ 標準反発係数エネルギー損失

問題

なめらかな水平面上を速さ $6.0 m/s$ で進む質量 $2.0 kg$ の球 A が、静止している質量 $2.0 kg$ の球 B に正面衝突した。反発係数を $0.50$ とする。(1) 衝突後の A、B の速さ (2) 衝突で失われた運動エネルギーを求めよ。

e=0.50 の衝突。KE の 37.5 % が音・熱・変形に変わる

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(1) は s02 と同じ連立。(2) は前後の運動エネルギーを丁寧に計算して引く。e<1 の衝突では必ずいくらか失われるはず、という予想を持って検算しよう。

解答・解説

方針

保存則と e の連立(等質量・相手静止の公式 (1±e)v/2)で速度を出し、前後の KE の差をとる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前半は s02 の型どおり。後半は「 $e < 1$ の衝突では運動エネルギーが必ず減る」ことを数値で確かめる。減った分は音・熱・変形に変わっている。

① 衝突後の速度。 等質量・相手静止の連立を解いて( $v_{A}^{'} + v_{B}^{'} = 6.0$ 、 $v_{B}^{'} - v_{A}^{'} = 0.50 \times 6.0 = 3.0$ )

$v_{A}^{'} = 1.5 m/s, v_{B}^{'} = 4.5 m/s$

② エネルギーの差。

$前 : \frac{1}{2} \times 2.0 \times 6. 0^{2} = 36 J$

$後 : \frac{1}{2} \times 2.0 \times (1. 5^{2} + 4. 5^{2}) = 1.0 \times (2.25 + 20.25) = 22.5 J$

$損失 = 36 - 22.5 = 13.5 J$

まとめ 損失率は $\frac{13.5}{36} = 37.5 %$ 。一般に等質量・相手静止では損失率が $\frac{1 - e ^{2}}{2}$ になり、 $e = 0.50$ で $\frac{0.75}{2} = 37.5 %$ と一致する。 $e$ はエネルギーの残り具合も支配する—— $e^{2}$ が「相対運動のエネルギーの生存率」なのである。

答

(1) A: $1.5 m/s$ 、B: $4.5 m/s$ (2) $13.5 J$

別解

損失の公式で先に見積もるルート。 2 球の衝突で失われる KE は一般に

$Δ E = \frac{1}{2} \cdot \frac{m _{A} m _{B}}{m _{A} + m _{B}} (1 - e^{2}) (v_{A} - v_{B})^{2}$

で与えられる。代入すると $\frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.75 \times 36 = 13.5 J$ 。この式は「換算質量×相対速度」で書かれており、損失は相対運動の分だけから起こる(重心運動の分は無傷)という深い構造を示している。結果の一致で①②の検算にもなる。

ポイント

速度は保存則+e、損失は前後の差
等質量・相手静止の損失率=(1−e²)/2
損失は相対運動のエネルギーから

よくある間違い

後の KE を合計せず B の分だけ引く
1.5²+4.5² の計算ミス(2.25+20.25)
損失を負で答える(失われた量は正で)