弾丸の撃ち込み(合体とエネルギー損失)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 撃ち込み(めり込む衝突)は合体の典型で、運動量は保存するが運動エネルギーは大きく失われる。まず保存則で速さを出し、それからエネルギーの前後を比べる。

① 合体後の速さ。

$$V=\frac{0.050\times 200}{0.050+0.95}=\frac{10}{1.0}=10m/s$$

② エネルギーの前後。

$$前:\frac{1}{2}\times 0.050\times 200^2=1000\mathrm{J},後:\frac{1}{2}\times 1.0\times 10^2=50\mathrm{J}$$

失われたのは

$$1000-50=950\mathrm{J}(95\%)$$

まとめ 実に 95 % が、木片を削る仕事や熱に変わった。軽い弾丸が重い相手に合体する衝突ほど、エネルギーの損失率は大きい(損失率は $\frac{m_B}{m_A+m_B}$=95 %)。「運動量は必ず保存、エネルギーは合体で大幅ロス」という対比を、数値の迫力ごと覚えておきたい。

別解

損失率の公式で見るルート。 静止した相手への合体では、失われる割合が

$$\frac{損失}{元のKE}=\frac{m_B}{m_A+m_B}=\frac{0.95}{1.0}=0.95$$

と質量比だけで決まる($1000\mathrm{J}\times 0.95=950\mathrm{J}$)。弾道振り子(a03)でエネルギー保存を衝突区間に使ってはいけない理由が、この 95 % という数字に凝縮されている。