物理 / 運動量と力積

保存則と反発係数の連立

★★ 標準運動量保存則反発係数

問題

なめらかな水平面上を速さ $8.0 m/s$ で進む質量 $3.0 kg$ の球 A が、静止している質量 $3.0 kg$ の球 B に正面衝突した。反発係数を $0.75$ とする。衝突後の A、B の速度をそれぞれ求めよ。

等質量の正面衝突(e=0.75)。保存則と e の式を連立する

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衝突後の速度が 2 つとも未知。方程式は 2 本必要になる。1 本は運動量保存。もう 1 本はどこから来るか——「はね返りの元気さ」の情報が使える。

解答・解説

方針

未知数 2 つ(vA'、vB')に対し、運動量保存と反発係数の 2 本を連立する。等質量なので式が軽い。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 衝突後の 2 つの速度を求めるには式が 2 本いる。運動量保存則と反発係数の式の連立——これが衝突問題の基本装備である。

① 2 本の式を立てる。 A のはじめの向きを正とする。

運動量保存: $3.0 \times 8.0 = 3.0 v_{A}^{'} + 3.0 v_{B}^{'}$ 、つまり

$v_{A}^{'} + v_{B}^{'} = 8.0 \dots (1)$

反発係数: $e = \frac{v _{B}^{'} - v _{A}^{'}}{8.0 - 0} = 0.75$ 、つまり

$v_{B}^{'} - v_{A}^{'} = 6.0 \dots (2)$

② 連立を解く。 $(1) + (2)$ より $2 v_{B}^{'} = 14$ 、 $(1) - (2)$ より $2 v_{A}^{'} = 2.0$ 。

$v_{B}^{'} = 7.0 m/s, v_{A}^{'} = 1.0 m/s$

まとめ 和と差の形の連立は、足す・引くだけで解ける。検算は e に戻して $\frac{7.0 - 1.0}{8.0} = 0.75$ ✓。「保存則+反発係数」の 2 本柱は、この先の応用(a02)でも同じ形で登場する。

答

A: $1.0 m/s$ 、B: $7.0 m/s$ (ともに A のはじめの向き)

別解

公式化して見通すルート(得意な人向け)。 等質量・相手静止の場合、連立の解は

$v_{A}^{'} = \frac{1 - e}{2} v, v_{B}^{'} = \frac{1 + e}{2} v$

とまとまる。 $e = 0.75$ 、 $v = 8.0$ で $v_{A}^{'} = 1.0$ 、 $v_{B}^{'} = 7.0$ 。 $e = 1$ なら $0$ と $v$ (速度交換)、 $e = 0$ なら共に $v /2$ (合体)——両極端がこの式に含まれていることを確かめると、衝突の全体像が 1 枚につながる。

ポイント

保存則+反発係数の 2 本連立
和と差の形は足し引きで解く
e=1 で交換、e=0 で合体に退化

よくある間違い

e の式の分母を衝突後の相対速度にする
(1)(2) の連立で符号を混同する
等質量だからと速度交換(e=1 専用)を使う