物理 / 運動量と力積

間に何をはさむと最も速くなるか

最難関編弾性衝突最大最小相加相乗平均

問題

なめらかな水平面上の一直線上に、質量 $m_{1}$ の球A、質量 $m_{2}$ の球B、質量 $m_{3}$ の球Cがこの順に並んでいる。BとCははじめ静止しており、Aが速さ $v_{0}$ でBに向かって進む。

まずAとBが衝突し、続いてBとCが衝突する。衝突はすべて弾性衝突で、運動はこの直線上だけで起こる。

(1) BとCの衝突が終わったあとのCの速さ $v_{3}$ を、 $m_{1}, m_{2}, m_{3}, v_{0}$ で表せ。

(2) $m_{1}$ と $m_{3}$ を変えずに $m_{2}$ だけを変えるとき、 $v_{3}$ を最大にする $m_{2}$ を求めよ。

(3) $m_{1} = m$ 、 $m_{3} = 9 m$ とする。(2)の $m_{2}$ の値と、そのときの $v_{3}$ を求めよ。またBを置かずにAを直接Cに衝突させた場合のCの速さと比べよ。

ヒントを見る

まず 1 回分の衝突で、静止していた側がどんな速さをもらうかを書く。それを 2 回つなぐ。できた式の最大を求めるとき、分母を $m_{2}$ で割ってみるとどんな形が現れるか。

解答・解説

方針

静止した相手への弾性衝突の公式を 2 回続けて使う。できた式は $m_{2}$ について分数の形になるので、分母を $m_{2}$ で割って相加平均と相乗平均の関係に持ち込む。最後は具体的な数値で、はさまない場合と比べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「間に 1 個はさむと速くなる」と言われても、直感では信じにくい。だからまず素直に、衝突を 2 回つないだ式を作る。

作った式は $m_{2}$ の分数式になる。最大を求めるので、微分してもよいが、分母が $m_{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{m _{2}} + (定数)$ の形に化けることに気づけば、相加平均と相乗平均の関係で一撃である。

答えが $m_{1} m_{3}$ 、つまり相乗平均になるところがこの問題の見どころである。

① 1 回分の衝突。 静止した相手にぶつかるとき、相手がもらう速さは決まった形をしている。

公式静止した

m_{2}

への弾性衝突

v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}

② 2 回つなぐ。 まずAがBに当たり、Bは

$v_{2} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}$

を得る。次にそのBがCに当たるので、同じ公式をもう一度使う。

$v_{3} = \frac{2 m _{2}}{m _{2} + m _{3}} v_{2} = \frac{2 m _{2}}{m _{2} + m _{3}} \cdot \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}$

$v_{3} = \frac{4 m _{1} m _{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ( m _{2} + m _{3} )} v_{0}$

③ 最大にする $m_{2}$ 。 分母を展開して $m_{2}$ で割る。分子の $m_{2}$ が消えるように、分母だけを $m_{2}$ で割るのがコツである。

$v_{3} = \frac{4 m _{1} v _{0}}{\frac{( m _{1} + m _{2} ) ( m _{2} + m _{3} )}{m _{2}}} = \frac{4 m _{1} v _{0}}{m _{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{m _{2}} + m _{1} + m _{3}}$

分母を最小にすれば $v_{3}$ が最大になる。 $m_{2} > 0$ だから

定理相加平均と相乗平均

a + b \geq 2 ab

(等号は

a = b

)

$m_{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{m _{2}} \geq 2 m_{1} m_{3}$

等号は $m_{2} = \frac{m _{1} m _{3}}{m _{2}}$ 、すなわち

$m_{2} = m_{1} m_{3}$

のときである。中間の質量は、両端の相乗平均にとればよい。

中間の質量を変えたときの C の速さ。両端の相乗平均 3m でピークになる。

④ 具体的な数値。 $m_{1} = m$ 、 $m_{3} = 9 m$ を入れる。

$m_{2} = m \cdot 9 m = 3 m$

このときの $v_{3}$ は、③の分母に代入して

$v_{3} = \frac{4 m v _{0}}{3 m + 3 m + m + 9 m} = \frac{4 m v _{0}}{16 m} = \frac{v _{0}}{4}$

⑤ はさまない場合と比べる。 Bを置かず、AをそのままCに当てると

$v_{3}^{'} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{3}} v_{0} = \frac{2 m}{m + 9 m} v_{0} = \frac{v _{0}}{5}$

$\frac{v _{0}}{4} > \frac{v _{0}}{5}$

間に 1 個はさんだほうが速い。その比は $\frac{5}{4}$ である。質量の差が大きいほど直接では伝わりにくく、中継ぎを置く効果が出る。

まとめ 軽いものから重いものへ運動を渡すときは、いきなり渡すより中間の重さを経由するほうがよく伝わる。最適な中間の重さは両端の相乗平均である。

発展 — 一歩先へ。 中間を 1 個ではなく $n$ 個にすると、最適な質量は等比数列に並ぶ。両端の比を $n + 1$ 等分するように質量を選ぶと最もよく伝わり、 $n$ を増やすほど伝わる割合は $1$ に近づく。音を空気から水へ伝えるときに、中間の密度をもつ層を重ねる「整合層」の考え方と同じ構造である。

答

$v_{3} = \frac{4 m _{1} m _{2} v _{0}}{( m _{1} + m _{2} ) ( m _{2} + m _{3} )}$ 、 $m_{2} = m_{1} m_{3}$ 、 $m_{2} = 3 m$ のとき $v_{3} = \frac{v _{0}}{4}$ (直接なら $\frac{v _{0}}{5}$ なので、はさむほうが速い)

別解

微分で押し切るルート。 相加相乗に気づかなくても、素直に微分すれば同じ答えに届く。

$m_{1}, m_{3}, v_{0}$ を定数とみて、 $m_{2} = t$ とおく。

$f (t) = \frac{4 m _{1} t}{( m _{1} + t ) ( t + m _{3} )} v_{0} = \frac{4 m _{1} v _{0} t}{t ^{2} + ( m _{1} + m _{3} ) t + m _{1} m _{3}}$

商の微分で分子だけを見る。分母を $D (t)$ とすると

$f^{'} (t) \propto D (t) - t D^{'} (t) = [t^{2} + (m_{1} + m_{3}) t + m_{1} m_{3}] - t [2 t + (m_{1} + m_{3})]$

$= m_{1} m_{3} - t^{2}$

したがって $f^{'} (t)$ の符号は $m_{1} m_{3} - t^{2}$ の符号と同じで、 $t < m_{1} m_{3}$ で正、 $t > m_{1} m_{3}$ で負である。 $t = m_{1} m_{3}$ で最大となる。

一般の最大値も書いておく。分母に $t = m_{1} m_{3}$ を入れると

$v_{3, m a x} = \frac{4 m _{1} v _{0}}{( m _{1} + m _{3} ) ^{2}}$

$m_{1} = m$ 、 $m_{3} = 9 m$ なら $(m + 3 m)^{2} = 16 m$ で $\frac{v _{0}}{4}$ となり、④と一致する。増減表まで書けるぶん、最大であることの確認はこちらが確実である。

ポイント

静止した相手への弾性衝突の公式を 2 回つなぐだけで式は作れる
分母を m₂ で割ると m₂+m₁m₃/m₂ が現れ、相加相乗で最小になる
最適な中間質量は両端の相乗平均 √(m₁m₃)

よくある間違い

中間の質量を相加平均((m₁+m₃)/2)としてしまう
「はさめば必ず速くなる」と思い込む(m₂ が極端だと直接より遅くなる)
相加相乗を使いながら、等号が成立する m₂ が正であることを確かめない