弾道振り子

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弾道振り子は保存則の使い分けを試す代表問題である。現象を 2 幕に分ける。

• 第 1 幕(衝突): 合体だから運動量保存(エネルギーは大損するので使えない)
• 第 2 幕(振れ上がり): 糸の張力は仕事をしないので力学的エネルギー保存(もう衝突はないので運動量は重力で変わる)

① 第 2 幕から解く(後ろから)。 合体直後の速さを $V$ とすると、エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}(1.0)V^2=(1.0)\times 9.8\times 0.10⟹V=\sqrt{1.96}=1.4m/s$$

② 第 1 幕にさかのぼる。 運動量保存より

$$0.020\times v=(0.020+0.980)\times 1.4⟹v=\frac{1.4}{0.020}=70m/s$$

まとめ 弾丸の運動エネルギーは $\frac{1}{2}\times 0.020\times 70^2=49\mathrm{J}$、振れ上がりに使われたのは $0.98\mathrm{J}$——98 % は衝突で消えた(s08 の損失率 $\frac{0.980}{1.0}=98\%$ と一致)。もし全区間にエネルギー保存を使うと $v=\sqrt{2gh}\times 50$ 倍もの誤差構造で別の答えになる。幕ごとに使う保存則を選ぶ——この設計感覚が融合問題の核心である。

別解

歴史的な意味から見るルート。 弾道振り子は、弾丸の速さを直接測れなかった時代に「測れる量(振れ上がりの高さ)」から逆算するために考案された実験装置である。

式をまとめると $v=\frac{M+m}{m}\sqrt{2gh}$。質量比 $\frac{M+m}{m}=50$ が「増幅率」としてはたらき、遅い $1.4m/s$ の振れから速い $70m/s$ を読み取れる。測定装置の設計思想として覚えると、式の形が忘れられなくなる。