運動量と力積の解説
文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月2日
運動量と力積は、衝突・合体・分裂のように「短い時間に大きな力がはたらく」現象を扱う単元です。力の詳細がわからなくても、前後の速度の関係だけで解ける、というのが運動量保存則の強みです。この記事では、運動量保存則と反発係数の2本立てで衝突を解く手順と、エネルギー保存との使い分けを説明します。
力積と運動量の関係が背骨
運動量 は「運動の勢い」、力積 は「力を時間で積算したもの」で、「力積 = 運動量の変化」が背骨の式です。運動方程式を時間で積分したものにあたります。運動量の定義、力積の定義、運動量の変化と力積で確認してください。
F-tグラフでは、グラフと横軸の間の面積が力積です(v-tグラフの面積が変位なのと同じ関係です)。F-t グラフから力積と速さを読むと標準の台形の F-t グラフで、面積の読み方を練習してください。
同じ運動量の変化でも、時間をかければ力は小さくなります。エアバッグや着地の膝の曲げは、この原理です(受け止め方で変わる力)。
運動量保存則は「外力がなければ合計は不変」
2つの物体が衝突や分裂をするとき、互いに及ぼし合う力は作用反作用で打ち消し合うので、系全体の運動量は変わりません。「前の運動量の合計 = 後の運動量の合計」を、向きを含めて(符号つきで)書きます。運動量保存(合体)、2球の衝突、静止物体の分裂で、正の向きを決めて式を立てる手順を固めてください。
平面内の衝突では、 方向と 方向に分けて2本の保存則を書きます(標準の平面内の弾性衝突、応用の3方向への分裂)。
反発係数で「衝突後」を決める
運動量保存則だけでは、衝突後の2つの速度は決まりません(式が1本で未知数が2つ)。もう1本が反発係数 の式です。床との衝突なら 、2球の衝突なら です。反発係数(床)、2球で定義を確認し、標準の保存則と反発係数の連立で2本を連立する型を身につけてください。
が弾性衝突(運動エネルギーが保存される)、 が完全非弾性衝突(合体)です。等質量の弾性衝突では速度が入れ替わります(標準の速度交換)。床でバウンドを繰り返す問題では、高さが 倍ずつ、時間が 倍ずつ減る等比数列になります(標準のくり返すバウンドの高さ、応用の時間の合計)。
斜めに壁に当たる衝突では、壁に平行な速度成分は変わらず、垂直な成分だけが 倍になります(標準のなめらかな壁への斜めの衝突)。
エネルギー保存との使い分け
衝突の瞬間は、運動量は保存されますが、運動エネルギーは( なら)減ります。逆に、衝突の前後(斜面を下る、振り子が上がる)は、運動量は変わりますが力学的エネルギーは保存されます。「衝突の瞬間は運動量、それ以外の区間はエネルギー」という幕分けが、この単元の急所です。
弾道振り子(応用の同名の問題)は、この幕分けの代表です。弾丸が木片に食い込む瞬間は運動量保存、そのあと振り上がる過程はエネルギー保存です。逆に、両方の幕で同じ法則を使うと解けません。標準の弾丸の撃ち込みと衝突で失われる運動エネルギーで、合体で失われるエネルギーの計算も確認してください。
ばねで打ち出される2物体(標準の同名の問題)や、ばね付き台車への衝突(応用の同名の問題)は、運動量保存とエネルギー保存の両方を使います。ばねが最も縮んだ瞬間は2物体の速度が等しい、という条件が、ここでの急所です。
つまずきやすいところ
最も多い誤りは、運動量保存則を「速さ」で書いて符号を落とすことです。運動量はベクトルなので、正の向きを決めて符号つきで書きます。壁に当たって戻る球の運動量の変化は で、 ではありません(壁との衝突で受ける力積)。
次に、「運動量が保存されるならエネルギーも保存される」という思い込みです。上に述べたとおり、非弾性衝突では運動エネルギーが減ります。この単元の問題では、「失われたエネルギー」を問う設問が頻出です。
学習の順序と次の単元へ
基礎12問で運動量、力積、F-tグラフ、壁との衝突、保存則、反発係数、分裂、エアバッグを確認し、標準12問で連立、速度交換、斜めの衝突、バウンド、ばね、弾丸、平面の衝突、貨車の連結を扱い、応用8問で弾性衝突の一般式、弾道振り子、3球の連続衝突、3方向の分裂、飛び乗り、ばね付き台車へ進みます。
難関(★★★★)には、なめらかな2球の斜めの衝突、ゆりかごの球、ボートの上を歩く、水流が壁を押す力、ベルトコンベア、衝突で失えるエネルギーの上限を、最難関編には、中性子の減速、重ねて落とした2球、散乱角の限界、落ちる鎖、砂袋を投げるロケットの原理など、運動量の考え方を広げる問題を集めました。次の「円運動と万有引力」では、この単元の「外力がなければ保存される量」の考え方が、面積速度一定(角運動量)として再登場します。