砂袋は 1 個ずつ投げるほうが速い

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この問題のしかけは「そりから見て速さ $u$」という一言にある。地面から見た砂袋の速度は、そのときのそりの速度に $-u$ を足したものである。

だから 2 回目は、1 回目とは違う状況から始まる。同じ計算を 2 回くり返せばよい、とはならない。

そしてもう 1 つ。2 回目に投げるとき、そりは軽くなっている。同じ相対速度で投げても、軽いほうが大きく加速する。これが (4) の答えの正体である。

① 1 回目。 投げる直前、全体($2m+m+m=4m$)は静止している。投げた直後、そり側は $2m+m=3m$ で速さ $V_1$、砂袋は地面から見て $V_1-u$ である。

$$0=3m{V}_1+m(V_1-u)$$

$$4m{V}_1=mu⟹V_1=\frac{u}{4}=\frac{12}{4}=3.0m/s$$

② 2 回目。 投げる直前、そり側($3m$)は $V_1$ で動いている。投げた直後、そりは $2m$ で速さ $V_2$、砂袋は $V_2-u$ である。

$$3m{V}_1=2m{V}_2+m(V_2-u)$$

$$3m{V}_1=3m{V}_2-mu⟹V_2=V_1+\frac{u}{3}$$

$$V_2=3.0+4.0=7.0m/s$$

③ 同時に投げる場合。 直前は全体($4m$)が静止、直後はそり($2m$)が $V$、砂袋 2 個($2m$)が $V-u$ である。

$$0=2mV+2m(V-u)$$

$$4mV=2mu⟹V=\frac{u}{2}=6.0m/s$$

④ 比べる。 $7.0>6.0$ だから、1 個ずつ投げるほうが速い。

理由は速度の増分を見ると分かる。1 回に増える速さは、$\frac{(\text{投げる質量})\times u}{(\text{投げる直前の全質量})}$ の形をしている。

• 1 回目:$\frac{mu}{4m}=\frac{u}{4}$
• 2 回目:$\frac{mu}{3m}=\frac{u}{3}$

2 回目のほうが分母が小さい。すでに 1 個を捨てて軽くなっているから、同じ相対速度でもよく効くのである。同時に投げると、この「軽くなってから投げる」という得ができない。

$$\frac{u}{4}+\frac{u}{3}=\frac{7u}{12}>\frac{u}{2}=\frac{6u}{12}$$

まとめ 相対速度で投げ出す問題は、1 回ごとに「直前の全質量」で運動量保存を立て直す。分けて投げるほど速くなるという結論は、ロケットが燃料を連続的に噴射する理由そのものである。

発展 — 一歩先へ。 砂の総質量を変えずに $n$ 回に分けると、速さは $\sum$ の形で増え、$n$ を大きくするほど速くなる。$n\to \infty$ の極限が、$\Delta v=u\log \frac{(\text{初めの全質量})}{(\text{終わりの全質量})}$ というツィオルコフスキーの式である。いまの $\frac{u}{4}+\frac{u}{3}=0.583u$ に対し、極限は $u\log 2=0.693u$ で、確かに大きい。

別解

「捨てるたびに乗り換える」見方。 各回の投げを、地面ではなくそのときのそりの立場から見ると計算がさらに軽くなる。

そりの立場では、投げる直前の全体は静止している。この立場で投げた直後、質量 $\Delta m$ の砂袋が $-u$ で飛び、残り(質量 $M^{\prime }$)が $+\delta$ で進むから

$$0=M^{\prime }\delta +\Delta m(\delta -u)⟹\delta =\frac{\Delta mu}{M^{\prime }+\Delta m}$$

$M^{\prime }+\Delta m$ は投げる直前の全質量である。つまり、1 回の投げで増える速さは、いつでも「投げる質量 ÷ 直前の全質量 × u」だと分かる。

あとは足すだけである。

$$\Delta v_1=\frac{m}{4m}u=\frac{u}{4},\Delta v_2=\frac{m}{3m}u=\frac{u}{3}$$

$$V_2=\frac{u}{4}+\frac{u}{3}=\frac{7u}{12}=7.0m/s$$

速度の増分は立場によらないので、こうして足し合わせてよい。この形にしておくと、(4) の比較も分母を見るだけで終わる。